Dada x^{3}+y^{2}+z^{4}=2 x y z, calcule \frac{\partial z}{\partial x} \mathrm{e} \frac{\partial z}{\partial y}.

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
x^{3}+y^{2}+z^{4}=2xyz
e pede que eu calcule as derivadas parciais \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} e \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}, supondo z=z(x,y) (ou seja, z é uma função de x e y).\n
Informações relevantes que o enunciado fornece:
\begin{aligned} &\text{Equação: }\; x^{3}+y^{2}+z^{4}=2xyz.\\\ &\text{Queremos: }\; z_x:=\frac{\partial z}{\partial x}\quad\text{e}\quad z_y:=\frac{\partial z}{\partial y}.\\\ &\text{Observação importante: }z\text{ depende de }x\text{ e }y,\text{ então ao diferenciar devemos aplicar regra da cadeia e produto.} \end{aligned}çãçãã

Passo 2

Vou explicar a técnica que vou usar (sem assumir que você já saiba): quando temos uma equação que relaciona x,y e z e z depende de x e y, diferenciamos ambos os lados em relação a x (mantendo y constante) para obter z_x; e diferenciamos ambos os lados em relação a y (mantendo x constante) para obter z_y. Ao diferenciar termos que envolvem z usamos a regra da cadeia: se temos F(z) então
\frac{d}{dx}F(z(x,y))=F'(z)\cdot z_x.
Ao diferenciar produtos como 2xyz usamos a regra do produto: por exemplo, ao derivar em relação a x com y constante, \dfrac{d}{dx}(2xyz)=2y\cdot z + 2xy\cdot z_x (porque 2y é constante vezes x\cdot z e aplicamos produto entre x e z).

Passo 3

Diferencio a equação em relação a x, tratando y como constante. Termo a termo:
\frac{d}{dx}\big(x^{3}\big)=3x^{2}.
\frac{d}{dx}\big(y^{2}\big)=0\quad(\text{porque }y\text{ é constante aqui}).é
\frac{d}{dx}\big(z^{4}\big)=4z^{3}\cdot z_x\quad(\text{regra da cadeia}).
Agora o lado direito:
\frac{d}{dx}\big(2xyz\big)=2y\cdot z + 2xy\cdot z_x\quad(\text{regra do produto, }y\text{ constante}).
Colocando tudo:
3x^{2}+0+4z^{3}z_x = 2y z + 2xy z_x.

Passo 4

Agrupo os termos que contêm z_x num mesmo lado e os demais no outro:
4z^{3}z_x - 2xy z_x = 2y z - 3x^{2}.
Fatorando z_x:
\big(4z^{3}-2xy\big)z_x = 2y z - 3x^{2}.
Finalmente, isolo z_x:
\boxed{\,z_x=\frac{2y z - 3x^{2}}{4z^{3}-2xy}\,}
(forma que obtive resolvendo a equação linear para z_x). Nota didática: podemos também simplificar fatorando 2 no denominador, obtendo z_x=\dfrac{2y z - 3x^{2}}{2(2z^{3}-xy)}, mas tanto faz — é a mesma expressão.

Passo 5

Agora diferencio a equação em relação a y, tratando x como constante. Termo a termo:
\frac{d}{dy}\big(x^{3}\big)=0\quad(\text{pois }x\text{ é constante agora}).é
\frac{d}{dy}\big(y^{2}\big)=2y.
\frac{d}{dy}\big(z^{4}\big)=4z^{3}\cdot z_y\quad(\text{regra da cadeia}).
Lado direito, com x constante:
\frac{d}{dy}\big(2xyz\big)=2x\cdot z + 2xy\cdot z_y\quad(\text{regra do produto}).
Reunindo:
0+2y+4z^{3}z_y = 2x z + 2xy z_y.

Passo 6

Agrupo os termos com z_y e resolvo:
4z^{3}z_y - 2xy z_y = 2x z - 2y.
Fatorando z_y:
\big(4z^{3}-2xy\big)z_y = 2x z - 2y.
Isolando z_y:
\boxed{\,z_y=\frac{2xz - 2y}{4z^{3}-2xy}\,}.
Podemos simplificar fatorando 2 em numerador e denominador:
z_y=\frac{2(xz - y)}{2(2z^{3}-xy)}=\frac{xz - y}{2z^{3}-xy}.

Passo 7

Resumo das observações importantes (úteis na prova): as fórmulas acima só fazem sentido quando o denominador \;4z^{3}-2xy\neq 0\; (ou seja, \;2z^{3}-xy\neq 0), caso contrário não dá para isolar z_x ou z_y por esse procedimento (isso está ligado ao teorema da função implícita). Sempre mencione esse ponto se precisar justificar existência das derivadas.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{2y z - 3x^{2}}{4z^{3}-2xy}
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{2xz - 2y}{4z^{3}-2xy}=\frac{xz - y}{2z^{3}-xy}

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