Dada
, calcule
.
Passo 1
O enunciado dá a equação implícita
e pede que eu calcule as derivadas parciais
e
, supondo
(ou seja,
é uma função de
e
).\n
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Passo 2
Vou explicar a técnica que vou usar (sem assumir que você já saiba): quando temos uma equação que relaciona
e
e
depende de
e
, diferenciamos ambos os lados em relação a
(mantendo
constante) para obter
; e diferenciamos ambos os lados em relação a
(mantendo
constante) para obter
. Ao diferenciar termos que envolvem
usamos a regra da cadeia: se temos
então
Ao diferenciar produtos como
usamos a regra do produto: por exemplo, ao derivar em relação a
com
constante,
(porque
é constante vezes
e aplicamos produto entre
e
).
Passo 3
Diferencio a equação em relação a
, tratando
como constante. Termo a termo:
Agora o lado direito:
Colocando tudo:
Passo 4
Agrupo os termos que contêm
num mesmo lado e os demais no outro:
Fatorando
:
Finalmente, isolo
:
(forma que obtive resolvendo a equação linear para
). Nota didática: podemos também simplificar fatorando
no denominador, obtendo
, mas tanto faz — é a mesma expressão.
Passo 5
Agora diferencio a equação em relação a
, tratando
como constante. Termo a termo:
Lado direito, com
constante:
Reunindo:
Passo 6
Agrupo os termos com
e resolvo:
Fatorando
:
Isolando
:
Podemos simplificar fatorando
em numerador e denominador:
Passo 7
Resumo das observações importantes (úteis na prova): as fórmulas acima só fazem sentido quando o denominador
(ou seja,
), caso contrário não dá para isolar
ou
por esse procedimento (isso está ligado ao teorema da função implícita). Sempre mencione esse ponto se precisar justificar existência das derivadas.