Determine para quais valores de x a série sumk=0^+infty (-1)^k x^k3^k(k+1) converge.

Passo 1

Vamos resolver o problema que pede para descobrir para quais valores de $ x $ a série
x
converge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência, como o Teste da Razão e o Teste da Alternância.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. Observe que podemos reescrever a série como:
sumk=0^+infty (-x/3)^kk+1
Isso nos mostra que a série é uma série de termos alternados, já que $ (-x/3)^k $ muda de sinal conforme $ k $ aumenta.

Passo 3

Para determinar a convergência, vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série alternada
sumk=0^+infty (-1)^k bk
converge se $ b_k $ for decrescente e tender a zero quando $ k $ tende ao infinito.
No nosso caso, $ b_k = \frac{|x|k}{3k (k+1)} $. Precisamos verificar se $ b_k $ tende a zero e se é decrescente.

Passo 4

Primeiro, vamos ver o limite de $ b_k $ quando $ k $ tende ao infinito:
bk
Para que esse limite seja zero, precisamos que $ \frac{|x|}{3} < 1 $, ou seja, $ |x| < 3 $.

Passo 5

Além disso, para que $ b_k $ seja decrescente, a razão $ \frac{b_{k+1}}{b_k} $ deve ser menor que 1:
bk
Quando $ |x| < 3 $, essa expressão é menor que 1 para todo $ k $, garantindo que $ b_k $ é decrescente.

Passo 6

Portanto, pelo Teste da Série Alternada, a série converge para $ |x| < 3 $.

Passo 7

Agora, vamos verificar os limites $ |x| = 3 $:
  • Se $ x = 3 $, a série se torna:
|x| = 3
Essa é a série alternada $ \sum \frac{(-1)^k}{k+1} $, que converge pelo Teste da Alternância.
  • Se $ x = -3 $, a série se torna:
x = 3
Essa é a série harmônica, que diverge.

Resposta

A série converge para todos os valores de $ x $ tais que $ |x| \leq 3 $, exceto quando $ x = -3 $. Ou seja, $ -3 < x \leq 3 $.

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