Mostre que
lim (x, y) (0,0) sen(x y)sen x sen y=1

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular o limite da função f(x,y)=sin(xy)sin x,sin y quando (x,y)to(0,0). Isso envolve limites em várias variáveis e vai depender do clássico limite limtto0sin tt=1.

Passo 2

Para explorar esse limite, fatoramos f(x,y) em produtos que contenham expressões do tipo sin tt. Escrevemos:
sin(xy)sin x,sin y= sin(xy)xycdot xysin x,sin y= sin(xy)xycdot xsin xcdot ysin y

Passo 3

Agora aplicamos o limite em cada fator separadamente. Quando (x,y)to(0,0) temos:
  • lim(x,y)to(0,0)sin(xy)xy=1 pelo limite fundamental com t=xyto0.
  • limxto0xsin x=1 e limyto0ysin y=1, novamente pelo mesmo limite fundamental.

Passo 4

Como o limite de um produto é o produto dos limites (tudo tende a 1), concluímos que

Resposta

1

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