Prove que |senh x| <=|cosh (x+imath y)| <= cosh x.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o módulo de cosh(x+iy) fica sempre entre |sinh x| e cosh x. Vamos usar propriedades de funções hiperbólicas e a identidade cosh^2 t - sinh^2 t = 1.

Passo 2

Começamos escrevendo a forma de cosh de um argumento complexo. Sabemos que para z = x + i y vale
cosh(x+iy) = e^x+iy + e^-x-iy2 = cosh xcos y + isinh xsin y

Passo 3

Para achar o módulo elevamos ao quadrado e somamos as partes real e imaginária:
|cosh(x+iy)|^2 = (cosh xcos y)^2 + (sinh xsin y)^2

Passo 4

Agora usamos a identidade hiperbólica cosh^2 x - sinh^2 x = 1 para reescrever:
|cosh(x+iy)|^2 = cosh^2 xcos^2 y + sinh^2 xsin^2 y = cosh^2 x - sin^2 yl(cosh^2 x - sinh^2 xr) = cosh^2 x - sin^2 y

Passo 5

Como sempre 0 <= sin^2 y <= 1, temos
cosh^2 x - 1 <= |cosh(x+iy)|^2 <= cosh^2 x
Mas cosh^2 x - 1 = sinh^2 x, então
sinh^2 x <= |cosh(x+iy)|^2 <= cosh^2 x

Passo 6

Bastou tirar raiz positiva em tudo (lembrando que cosh x>=0 e |cosh(x+iy)|>=0) para chegar à desigualdade desejada:
|sinh x| <= |cosh(x+iy)| <= cosh x

Resposta

|\sinh x| \le |\cosh(x+iy)| \le \cosh x

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