Prove que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o módulo de
fica sempre entre
e
. Vamos usar propriedades de funções hiperbólicas e a identidade
.
Passo 2
Começamos escrevendo a forma de
de um argumento complexo. Sabemos que para
vale
Passo 3
Para achar o módulo elevamos ao quadrado e somamos as partes real e imaginária:
Passo 4
Agora usamos a identidade hiperbólica
para reescrever:
Passo 5
Como sempre
, temos
Mas
, então
Passo 6
Bastou tirar raiz positiva em tudo (lembrando que
e
) para chegar à desigualdade desejada:
Resposta
|\sinh x| \le |\cosh(x+iy)| \le \cosh x