- Determine os valores de
tais que os vetores
sejam ortogonais.
Passo 1
O enunciado dá dois vetores em
:
- Primeiro vetor:
. - Segundo vetor:
.
O que a questão pede: determinar todos os valores de
tais que esses dois vetores sejam ortogonais.
Informações relevantes dadas:
- As componentes dos vetores dependem de
(em duas posições). - “Ser ortogonais” significa que há uma condição (a ser usada) envolvendo as componentes dos vetores.
Passo 2
Definição e ideia prática que vamos usar: dois vetores em
são ortogonais se, e somente se, o produto escalar (produto interno) entre eles for zero.
Explicando o produto escalar de forma bem direta:
- Para dois vetores
e , o produto escalar é
- Cada termo é o produto das componentes correspondentes; depois soma-se tudo.
- Se o resultado for
, os vetores são ortogonais (perpendiculares).
Essa é a ferramenta-chave: vamos calcular o produto escalar dos vetores dados e impor que seja igual a zero.
Passo 3
Aplicando a fórmula do produto escalar aos vetores
e
:
Agora simplificamos termo a termo:
-
, -
, -
.
Portanto a condição de ortogonalidade vira a equação
Reescrevendo em forma padrão de uma equação quadrática:
Passo 4
Resolver a equação quadrática
.
Método de fatoração (o mais direto aqui): procurar dois números cuja soma seja
e cujo produto seja
. Esses números são
e
, porque
e
.
Assim a quadrática fatoriza como
Impondo igual a zero:
Logo as soluções são
e
.
Verificação rápida (sempre bom na prova): para
,
Para
,
Em ambos os casos o produto escalar é zero, então as respostas estão corretas.
Passo 5
Dica rápida para a prova: ao ver vetores com parâmetros, sempre escreva o produto escalar explicitamente e reduza a uma equação em
. Fatorar é rápido quando os coeficientes são inteiros pequenos; se não conseguir fatorar, use a fórmula quadrática. Vai dar certo — respira fundo e segue passo a passo.