1. Determine os valores de x tais que os vetores \langle 3,2, x\rangle \mathrm{e} \langle 2 x, 4, x\rangle sejam ortogonais.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^3:
  • Primeiro vetor: \langle 3,2,x\rangle.
  • Segundo vetor: \langle 2x,4,x\rangle.
O que a questão pede: determinar todos os valores de x tais que esses dois vetores sejam ortogonais.
Informações relevantes dadas:
  • As componentes dos vetores dependem de x (em duas posições).
  • “Ser ortogonais” significa que há uma condição (a ser usada) envolvendo as componentes dos vetores.

Passo 2

Definição e ideia prática que vamos usar: dois vetores em \mathbb{R}^3 são ortogonais se, e somente se, o produto escalar (produto interno) entre eles for zero.
Explicando o produto escalar de forma bem direta:
  • Para dois vetores \langle a,b,c\rangle e \langle d,e,f\rangle, o produto escalar é
\langle a,b,c\rangle\cdot\langle d,e,f\rangle = a d + b e + c f.
  • Cada termo é o produto das componentes correspondentes; depois soma-se tudo.
  • Se o resultado for 0, os vetores são ortogonais (perpendiculares).
Essa é a ferramenta-chave: vamos calcular o produto escalar dos vetores dados e impor que seja igual a zero.

Passo 3

Aplicando a fórmula do produto escalar aos vetores \langle 3,2,x\rangle e \langle 2x,4,x\rangle:
\langle 3,2,x\rangle\cdot\langle 2x,4,x\rangle = 3\cdot(2x) + 2\cdot 4 + x\cdot x.
Agora simplificamos termo a termo:
  • 3\cdot(2x) = 6x,
  • 2\cdot 4 = 8,
  • x\cdot x = x^2.
Portanto a condição de ortogonalidade vira a equação
6x + 8 + x^2 = 0.
Reescrevendo em forma padrão de uma equação quadrática:
x^2 + 6x + 8 = 0.

Passo 4

Resolver a equação quadrática x^2 + 6x + 8 = 0.
Método de fatoração (o mais direto aqui): procurar dois números cuja soma seja 6 e cujo produto seja 8. Esses números são 2 e 4, porque 2+4=6 e 2\cdot4=8.
Assim a quadrática fatoriza como
x^2 + 6x + 8 = (x+2)(x+4).
Impondo igual a zero:
(x+2)(x+4)=0 \quad\Rightarrow\quad x+2=0 \\ \text{ou}\\ x+4=0.
Logo as soluções são x=-2 e x=-4.
Verificação rápida (sempre bom na prova): para x=-2,
\langle 3,2,-2\rangle\cdot\langle -4,4,-2\rangle = 3(-4)+2(4)+(-2)(-2) = -12+8+4=0.
Para x=-4,
\langle 3,2,-4\rangle\cdot\langle -8,4,-4\rangle = 3(-8)+2(4)+(-4)(-4) = -24+8+16=0.
Em ambos os casos o produto escalar é zero, então as respostas estão corretas.

Passo 5

Dica rápida para a prova: ao ver vetores com parâmetros, sempre escreva o produto escalar explicitamente e reduza a uma equação em x. Fatorar é rápido quando os coeficientes são inteiros pequenos; se não conseguir fatorar, use a fórmula quadrática. Vai dar certo — respira fundo e segue passo a passo.

Resposta

x=-2
x=-4

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