Calcule a quantidade dada se
\mathbf{a}=\mathbf{i}+\mathbf{j}-2 \mathbf{k}
\mathbf{b}=3 \mathbf{i}-2 \mathbf{j}+\mathbf{k}
\mathbf{c}=\mathbf{j}-5 \mathbf{k}
\operatorname{proj}_{\mathbf{a}} \mathbf{b}

Passo 1

O enunciado fornece os vetores (peguei estes valores do enunciado):
\mathbf{a}=\mathbf{i}+\mathbf{j}-2\mathbf{k}, \qquad \mathbf{b}=3\mathbf{i}-2\mathbf{j}+\mathbf{k}, \qquad \mathbf{c}=\mathbf{j}-5\mathbf{k}.
A pergunta é: calcular \operatorname{proj}_{\mathbf{a}}\mathbf{b} (a projeção do vetor \mathbf{b} sobre o vetor \mathbf{a}).

Passo 2

O que é a projeção de um vetor sobre outro? Explicando devagar e de forma prática: a projeção de \mathbf{b} sobre \mathbf{a} é o vetor componente de \mathbf{b} que aponta na mesma direção de \mathbf{a}. Em fórmulas, a projeção de \mathbf{b} sobre \mathbf{a} é dada por
\operatorname{proj}_{\mathbf{a}}\mathbf{b}=\left(\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}}\right)\mathbf{a}.
Aqui:
  • \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} é o produto escalar entre \mathbf{a} e \mathbf{b}.
  • \mathbf{a}\cdot\mathbf{a} é o quadrado da norma de \mathbf{a}, isto é |\mathbf{a}|^2.
    Essa fórmula é muito útil porque devolve diretamente um escalar multiplicando o vetor \mathbf{a}, produzindo o componente de \mathbf{b} paralelo a \mathbf{a}.

Passo 3

Calcular o produto escalar \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}. Primeiro escrevemos as componentes numéricas:
\mathbf{a}=(1,1,-2),\qquad \mathbf{b}=(3,-2,1).
O produto escalar é soma dos produtos das componentes correspondentes:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=1\cdot 3 + 1\cdot(-2) + (-2)\cdot 1 = 3 - 2 - 2 = -1.

Passo 4

Calcular \mathbf{a}\cdot\mathbf{a} (o quadrado da norma de \mathbf{a}):
\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}=1^2 + 1^2 + (-2)^2 = 1 + 1 + 4 = 6.

Passo 5

Calcular o escalar que multiplica \mathbf{a} na projeção:
\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}}=\frac{-1}{6}=-\frac{1}{6}.

Passo 6

Multiplicar esse escalar por \mathbf{a} para obter a projeção. Usando \mathbf{a}=(1,1,-2):
\operatorname{proj}_{\mathbf{a}}\mathbf{b}=-\frac{1}{6}(1,1,-2)=\left(-\frac{1}{6},-\frac{1}{6},\frac{2}{6}\right)=\left(-\frac{1}{6},-\frac{1}{6},\frac{1}{3}\right).
Escrevendo em termos de \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}:
\operatorname{proj}_{\mathbf{a}}\mathbf{b}=-\frac{1}{6}\mathbf{i}-\frac{1}{6}\mathbf{j}+\frac{1}{3}\mathbf{k}.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas bom para garantir que não houve erro): a diferença \mathbf{b}-\operatorname{proj}_{\mathbf{a}}\mathbf{b} deve ser ortogonal a \mathbf{a}. Calculando
\mathbf{b}-\operatorname{proj}_{\mathbf{a}}\mathbf{b}=\left(3+\tfrac{1}{6},\\\ -2+\tfrac{1}{6},\\\ 1-\tfrac{1}{3}\right)=\left(\tfrac{19}{6},-\tfrac{11}{6},\tfrac{2}{3}\right).
O produto escalar com \mathbf{a}=(1,1,-2) é
1\cdot\tfrac{19}{6}+1\cdot\bigl(-\tfrac{11}{6}\bigr)+(-2)\cdot\tfrac{2}{3}=\tfrac{8}{6}-\tfrac{4}{3}=0,
confirmando que a componente restante é ortogonal a \mathbf{a}, como esperado.

Resposta

-\dfrac{1}{6}\mathbf{i}-\dfrac{1}{6}\mathbf{j}+\dfrac{1}{3}\mathbf{k}

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