Calcule a quantidade dada se
\mathbf{a}=\mathbf{i}+\mathbf{j}-2 \mathbf{k}
\mathbf{b}=3 \mathbf{i}-2 \mathbf{j}+\mathbf{k}
\mathbf{c}=\mathbf{j}-5 \mathbf{k}
O ângulo entre \mathbf{a} e \mathbf{b} (com precisão de um grau)

Passo 1

O enunciado dá os vetores (peguei estes componentes do enunciado):
  • \mathbf{a}=\mathbf{i}+\mathbf{j}-2\mathbf{k}. Ou seja, em componentes cartesianas \mathbf{a}=(1,1,-2).
  • \mathbf{b}=3\mathbf{i}-2\mathbf{j}+\mathbf{k}. Ou seja, \mathbf{b}=(3,-2,1).
  • \mathbf{c}=\mathbf{j}-5\mathbf{k}. Ou seja, \mathbf{c}=(0,1,-5). (Esse vetor foi fornecido, mas a pergunta pede só o ângulo entre \mathbf{a} e \mathbf{b}.)
O que o enunciado pede:
  • Calcular o ângulo entre \mathbf{a} e \mathbf{b} com precisão de um grau (ou seja, arredondar o resultado para o grau mais próximo).

Passo 2

Fórmula que vamos usar (e o porquê dela): para dois vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} em \mathbb{R}^3 vale
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_x v_x+u_y v_y+u_z v_z,
isto é, o produto escalar é a soma dos produtos das componentes correspondentes. Também vale a relação que liga produto escalar e ângulo:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\lVert \mathbf{u}\rVert\,\lVert \mathbf{v}\rVert\cos\theta,
onde \lVert \mathbf{u}\rVert é o comprimento (norma) de \mathbf{u}, \lVert \mathbf{v}\rVert a norma de \mathbf{v}, e \theta é o ângulo entre os vetores (com 0\le\theta\le\pi). Neste problema, tomamos \mathbf{u}=\mathbf{a} e \mathbf{v}=\mathbf{b}. A ideia prática: calcular \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} e \lVert\mathbf{a}\rVert,\\ \lVert\mathbf{b}\rVert, isolar \cos\theta e então obter \theta=\operatorname{arccos}(\cdot).

Passo 3

Calcular o produto escalar \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} usando as componentes que peguei do enunciado:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=1\cdot 3 + 1\cdot(-2) + (-2)\cdot 1.
Agora faço cada multiplicação e a soma:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=3 -2 -2 = -1.

Passo 4

Calcular as normas (comprimentos) dos vetores:
  • Norma de \mathbf{a}:
\lVert\mathbf{a}\rVert=\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}.
  • Norma de \mathbf{b}:
\lVert\mathbf{b}\rVert=\sqrt{3^2+(-2)^2+1^2}=\sqrt{9+4+1}=\sqrt{14}.

Passo 5

Isolar \cos\theta na relação \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\lVert\mathbf{a}\rVert\lVert\mathbf{b}\rVert\cos\theta. Substituindo os valores que já calculei (peguei \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=-1, \lVert\mathbf{a}\rVert=\sqrt{6}, \lVert\mathbf{b}\rVert=\sqrt{14}):
\cos\theta=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\lVert\mathbf{a}\rVert\lVert\mathbf{b}\rVert} =\frac{-1}{\sqrt{6}\,\sqrt{14}} =\frac{-1}{\sqrt{84}}.
Podemos simplificar \sqrt{84}=\sqrt{4\cdot21}=2\sqrt{21}, então
\cos\theta=-\frac{1}{2\sqrt{21}}.

Passo 6

Interpretando o valor de \cos\theta: a quantidade -\dfrac{1}{2\sqrt{21}} é negativa e tem valor numérico pequeno em magnitude, portanto o ângulo \theta será maior que 90^\circ (porque cosseno negativo) e não muito maior (porque o cosseno está perto de zero). Para obter o ângulo em graus usamos a função arco-cosseno:
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(-\dfrac{1}{2\sqrt{21}}\right).
Lembrete prático: \operatorname{arccos} devolve um ângulo em radianos se a calculadora estiver em rad, ou em graus se estiver em deg; aqui queremos o resultado em graus.

Passo 7

Cálculo numérico (usar calculadora para a etapa de arco-cosseno):
  • Primeiro avalio numericamente o cosseno:
2\sqrt{21}\approx 2\cdot 4{,}582575695 \approx 9{,}16515139,
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\cos\theta\approx -\dfrac{1}{9{,}16515139}\approx -0{,}109108945.
  • Agora aplico arco-cosseno (em graus):
\theta=\operatorname{arccos}(-0{,}109108945)\approx 96{,}26^\circ.
Arredondando para um grau (precisão pedida): \theta\approx 96^\circ.
Força aí — deu trabalho, mas a ideia é sempre: produto escalar para obter coseno, normas para normalizar, e arco-cosseno para o ângulo. Pronto para repetir esse procedimento com qualquer par de vetores!

Resposta

96^\circ

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