Calcule a quantidade dada se
O ângulo entre
e
(com precisão de um grau)
O ângulo entre
Passo 1
O enunciado dá os vetores (peguei estes componentes do enunciado):
-
. Ou seja, em componentes cartesianas . -
. Ou seja, . -
. Ou seja, . (Esse vetor foi fornecido, mas a pergunta pede só o ângulo entre e .)
O que o enunciado pede:
- Calcular o ângulo entre
e com precisão de um grau (ou seja, arredondar o resultado para o grau mais próximo).
Passo 2
Fórmula que vamos usar (e o porquê dela): para dois vetores
e
em
vale
isto é, o produto escalar é a soma dos produtos das componentes correspondentes. Também vale a relação que liga produto escalar e ângulo:
onde
é o comprimento (norma) de
,
a norma de
, e
é o ângulo entre os vetores (com
). Neste problema, tomamos
e
. A ideia prática: calcular
e
, isolar
e então obter
.
Passo 3
Calcular o produto escalar
usando as componentes que peguei do enunciado:
Agora faço cada multiplicação e a soma:
Passo 4
Calcular as normas (comprimentos) dos vetores:
- Norma de
:
- Norma de
:
Passo 5
Isolar
na relação
. Substituindo os valores que já calculei (peguei
,
,
):
Podemos simplificar
, então
Passo 6
Interpretando o valor de
: a quantidade
é negativa e tem valor numérico pequeno em magnitude, portanto o ângulo
será maior que
(porque cosseno negativo) e não muito maior (porque o cosseno está perto de zero). Para obter o ângulo em graus usamos a função arco-cosseno:
Lembrete prático:
devolve um ângulo em radianos se a calculadora estiver em rad, ou em graus se estiver em deg; aqui queremos o resultado em graus.
Passo 7
Cálculo numérico (usar calculadora para a etapa de arco-cosseno):
- Primeiro avalio numericamente o cosseno:
logo
- Agora aplico arco-cosseno (em graus):
Arredondando para um grau (precisão pedida):
.
Força aí — deu trabalho, mas a ideia é sempre: produto escalar para obter coseno, normas para normalizar, e arco-cosseno para o ângulo. Pronto para repetir esse procedimento com qualquer par de vetores!