Calcule o desenvolvimento em série de Taylor em torno do ponto
, até a segunda ordem e com resto de Lagrange das funções:
Passo 1
O enunciado pede o polinomial de Taylor de ordem 2 de
em torno de
, e também a forma do resto na versão de Lagrange. Para isso vamos precisar das derivadas até a terceira ordem de
.
Passo 2
Começamos escrevendo
como produto e aplicando regra do produto e da cadeia:
Dessa forma obtemos
Passo 3
Avaliamo as derivadas em
:
Passo 4
O polinômio de Taylor de ordem 2 em torno de
é
Passo 5
A forma do resto de Lagrange é
Como
, temos
Resposta
O desenvolvimento de Taylor até a segunda ordem é
com
para algum
entre
e
.