Determine os valores de x para os quais (2 x-1)(x+4) \geq 0.

Passo 1

O enunciado pede os valores de x tais que
(2x-1)(x+4)\geq0.
O conteúdo aqui é resolução de desigualdade polinomial via fatoração e análise de sinais: primeiro identificamos as raízes de cada fator, depois estudamos o sinal de cada um em cada intervalo determinado por essas raízes.

Passo 2

Encontramos as raízes de cada fator:
Para 2x-1=0 temos
2x-1=0\implies x=\tfrac12.
Para x+4=0 temos
x+4=0\implies x=-4.

Passo 3

Essas raízes particionam a reta real em três intervalos: (-\infty,-4), (-4,\tfrac12) e (\tfrac12,\infty). Em cada intervalo escolhemos um ponto de teste e avaliamos o sinal de cada fator:
  1. Em x<-4, por exemplo x=-5:
2x-1=2(-5)-1=-11<0,\quad x+4=-5+4=-1<0,
logo (2x-1)(x+4)>0.
  1. Em -4<x<\tfrac12, por exemplo x=0:
2x-1=2\cdot0-1=-1<0,\quad x+4=0+4=4>0,
logo (2x-1)(x+4)<0.
  1. Em x>\tfrac12, por exemplo x=1:
2x-1=2\cdot1-1=1>0,\quad x+4=1+4=5>0,
logo (2x-1)(x+4)>0.

Passo 4

Como queremos (2x-1)(x+4)\geq0, incluímos os intervalos onde o produto é positivo e os pontos em que o produto zera, ou seja, x=-4 e x=\tfrac12.

Resposta

x\in(-\infty,-4]\;\cup\;[\tfrac12,\infty).

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