Resolva a inequação de segundo grau 3 x^{2}-2 x-7 \geq 0.

Passo 1

O enunciado dá a inequação de segundo grau
3x^2 - 2x - 7 \ge 0
Queremos descobrir para quais valores de x essa expressão é não negativa. Para isso, calculamos as raízes da função quadrática e analisamos o sinal do polinômio sabendo que o coeficiente de x^2 é positivo 3>0, ou seja, a parábola abre para cima.

Passo 2

Calculemos o discriminante \Delta da equação 3x^2 - 2x - 7=0:
\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4\cdot 3\cdot(-7) = 4 + 84 = 88.

Passo 3

As raízes são dadas por
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{88}}{6} = \frac{2 \pm 2\sqrt{22}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{22}}{3}.
Chamemos
x_1 = \frac{1 - \sqrt{22}}{3}, \quad x_2 = \frac{1 + \sqrt{22}}{3}.

Passo 4

Como a parábola abre para cima a=3>0, a expressão 3x^2-2x-7 é
– negativa entre as raízes x_1 < x < x_2,
– positiva ou zero fora desse intervalo.
Portanto, a solução da inequação é
x \in (-\infty, x_1] \,\cup\, [x_2, \infty).

Resposta

\bigl(-\infty,\tfrac{1-\sqrt{22}}{3}\bigr] \,\cup\, \bigl[\tfrac{1+\sqrt{22}}{3},\infty\bigr)

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