Determine os valores de z que satisfazem a equação
e^z=-e^-z

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os números complexos z tais que e^z = -e^-z. O conteúdo aqui envolve exponenciais complexas e uso do logaritmo complexo.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por e^z, usando a propriedade e^ae^b=e^a+b. Isso nos dá
e^zcdot e^z = -e^-zcdot e^z
ou seja
e^2z = -1

Passo 3

Reconhecemos que -1 pode ser escrito na forma exponencial complexa usando a fórmula de Euler:
-1 = e^i(pi + 2kpi), kinZ

Passo 4

Como as exponenciais são iguais, igualamos os expoentes (considerando a periodicidade de 2pi i):
2z = il(pi + 2kpir), kinZ

Passo 5

Dividindo ambos os lados por 2, obtemos a forma geral de z:
z = il(pi2 + kpir), kinZ

Resposta

z = il(pi2 + kpir),; kinZ

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