Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
a) y^prime prime-2 y^prime-3 y & =6 e^x y(0)=1 & y^prime(0)=3

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício de equações diferenciais usando a Transformada de Laplace. O problema é resolver a seguinte equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais:
y'' - 2y' - 3y = 6e^x y(0) = 1 y'(0) = 3
Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a Transformada de Laplace em equações diferenciais e como usar as condições iniciais para encontrar a solução completa. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. A Transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa que transforma equações diferenciais no domínio do tempo para o domínio de s, facilitando a resolução.
Lembrando que:
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
Ly' = s Y(s) - y(0)
Ly = Y(s)
E também,
Le^x = 1s - 1
Aplicando a Transformada de Laplace na equação:
Ly'' - 2y' - 3y = L6e^x

Passo 3

Vamos substituir as transformadas:
s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) - 2[s Y(s) - y(0)] - 3Y(s) = 6s - 1
Agora, insira os valores das condições iniciais s^2 Y(s) - s(1) - 3 - 2[s Y(s) - 1] - 3Y(s) = 6s - 1 e s^2 Y(s) - s - 3 - 2s Y(s) + 2 - 3Y(s) = 6s - 1 :
(s^2 - 2s - 3)Y(s) - s - 1 = 6s - 1
Simplificando os termos:
Y(s) = 6s - 1 + s + 1s^2 - 2s - 3
Combine os termos semelhantes:
Agora, isole :

Passo 4

Vamos simplificar s^2 - 2s - 3 = (s - 3)(s + 1) . Primeiro, vamos fatorar o denominador:
Y(s) = 6s - 1 + s + 1(s - 3)(s + 1)
Então, temos:
6s - 1 + s + 1 = 6 + (s + 1)(s - 1)s - 1 = 6 + s^2 - 1s - 1 = s^2 + 5s - 1
Para simplificar, vamos combinar os termos no numerador:
Y(s) = s^2 + 5(s - 1)(s - 3)(s + 1)
Então, agora:
s^2 + 5(s - 1)(s - 3)(s + 1) = As - 1 + Bs - 3 + Cs + 1
Para facilitar a invertida da Transformada de Laplace, vamos fazer frações parciais:
s^2 + 5 = A(s - 3)(s + 1) + B(s - 1)(s + 1) + C(s - 1)(s - 3)
Multiplicando ambos os lados por 1^2 + 5 = A(1 - 3)(1 + 1) Rightarrow 6 = A(-2)(2) Rightarrow 6 = -4A Rightarrow A = -32 :
3^2 + 5 = B(3 - 1)(3 + 1) Rightarrow 14 = B(2)(4) Rightarrow 14 = 8B Rightarrow B = 74
Agora, vamos encontrar os valores de A, B e C substituindo valores estratégicos de s:
  1. Para (-1)^2 + 5 = C(-1 - 1)(-1 - 3) Rightarrow 6 = C(-2)(-4) Rightarrow 6 = 8C Rightarrow C = 34 :
Y(s) = -32 cdot 1s - 1 + 74 cdot 1s - 3 + 34 cdot 1s + 1
  1. Para :
  1. Para :
Então, substituindo A, B e C:

Passo 5

Agora, vamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar y(x) = -32 e^x + 74 e^3x + 34 e^-x :

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(x) = -32 e^x + 74 e^3x + 34 e^-x

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