Determine a variação de volume do bloco de aço sob pressão hidrostática P=180 \mathrm{MPa}.
Dados: E=200 \mathrm{GPa} e v=0,29.

Passo 1

O enunciado descreve um bloco de aço com dimensões 80,mm × 60,mm × 40,mm submetido a uma pressão hidrostática uniforme P=180,MPa. Sabemos que o módulo de Young é E=200,GPa e o coeficiente de Poisson é \nu=0,29. Queremos calcular a variação de volume \Delta V usando a teoria da elasticidade linear isotrópica.

Passo 2

Em elasticidade isotrópica 3D, a deformação normal em x é dada por
\varepsilon_x = \frac{1}{E}\bigl(\sigma_x - \nu(\sigma_y+\sigma_z)\bigr).
Como a pressão é hidrostática, \sigma_x=\sigma_y=\sigma_z=-P. Logo,
\varepsilon_x = \frac{1}{E}\bigl(-P - \nu(-P - P)\bigr) = \frac{1}{E}\bigl(-P + 2\nu P\bigr) = \frac{(2\nu -1)\,P}{E}.

Passo 3

Como as três direções são simétricas, \varepsilon_y=\varepsilon_z=\varepsilon_x. A variação volumétrica relativa é
\frac{\Delta V}{V_0} = \varepsilon_x + \varepsilon_y + \varepsilon_z = 3\,\varepsilon_x = 3\,\frac{(2\nu -1)\,P}{E}.

Passo 4

Calculando numericamente:
2\nu -1 = 2\cdot 0,29 -1 = -0,42, \qquad \frac{P}{E} = \frac{180\cdot10^6}{200\cdot10^9} = 0{,}0009.
Portanto
\frac{\Delta V}{V_0} = 3 \times (-0,42)\times 0{,}0009 = -1{,}134\times 10^{-3}.

Passo 5

O volume inicial é
V_0 = 80\,\mathrm{mm}\times 60\,\mathrm{mm}\times 40\,\mathrm{mm} =192000\,\mathrm{mm}^3.
Logo a variação de volume é
\Delta V = V_0\,\frac{\Delta V}{V_0} =192000\,\mathrm{mm}^3 \times (-1{,}134\times10^{-3}) \approx -218\,\mathrm{mm}^3.

Resposta

A variação de volume do bloco é \displaystyle \Delta V\approx -218,mm ^3, ou seja, o volume diminui em cerca de 218,mm ^3.

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