Exemplo 2.5

A barra A B é perfeitamente ajustada aos anteparos fixos quando a temperatura é de +25^{\circ} \mathrm{C}.
Determine as tensões atuantes nas partes A C e C B da barra para a temperatura de -50^{\circ} \mathrm{C}.
Dados: E=200 \mathrm{GPa} e \alpha=12 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

Resumindo: temos uma barra AB encaixada rigidamente entre anteparos quando a temperatura é T_0=+25^\circ\mathrm{C}. A barra é composta de dois trechos em série:
• Trecho AC com comprimento L_1=300\,\mathrm{mm}=0{,}3\,\mathrm{m} e área A_1=400\,\mathrm{mm}^2=4\times10^{-4}\,\mathrm{m}^2.
• Trecho CB com comprimento L_2=300\,\mathrm{mm}=0{,}3\,\mathrm{m} e área A_2=800\,\mathrm{mm}^2=8\times10^{-4}\,\mathrm{m}^2.
Dados do material: módulo de Young E=200\,\mathrm{GPa}=2{,}0\times10^{11}\,\mathrm{Pa} e coeficiente de expansão térmica \alpha=12\times10^{-6}/^\circ\mathrm{C}.
Pede-se as tensões nos trechos AC e CB quando a temperatura cai para T_f=-50^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Calcular a variação de temperatura e a deformação térmica livre:
\Delta T = T_f - T_0 = -50 - (+25) = -75\;^\circ\mathrm{C}
\varepsilon_\text{th} = \alpha\,\Delta T = 12\times10^{-6}\times(-75) = -9{,}0\times10^{-4}.

Passo 3

Como as extremidades estão engastadas, a contração térmica é impedida. Surge uma força axial P que gera deformação mecânica \varepsilon_\text{m} em cada trecho; elas devem anular a térmica no total:
Para cada trecho i, a deformação total é
\varepsilon_i = \frac{P}{A_i E} + \varepsilon_\text{th} \quad\Longrightarrow\quad \delta_i = \varepsilon_i\,L_i.
A condição de compatibilidade (deslocamento total nulo) dá
\delta_1+\delta_2=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{P\,L_1}{A_1E}+\frac{P\,L_2}{A_2E}+\alpha\,\Delta T\,(L_1+L_2)=0.

Passo 4

Isolando P:
P\!\Bigl(\frac{L_1}{A_1E}+\frac{L_2}{A_2E}\Bigr) =-\alpha\,\Delta T\,(L_1+L_2) \quad\Longrightarrow\quad P =-\alpha\,\Delta T\,E\,\frac{L_1+L_2}{\displaystyle\frac{L_1}{A_1}+\frac{L_2}{A_2}}.
Substituindo os valores (em unidades SI):
-\alpha\,\Delta T\,E= -(-9{,}0\times10^{-4})\times2{,}0\times10^{11} =1{,}8\times10^{8}\,\mathrm{Pa},
\frac{L_1}{A_1}+\frac{L_2}{A_2} =\frac{0{,}3}{4\times10^{-4}}+\frac{0{,}3}{8\times10^{-4}} =750+375=1125\;\mathrm{m}^{-1},
L_1+L_2=0{,}6\;\mathrm{m} \quad\Longrightarrow\quad P =\frac{1{,}8\times10^{8}\times0{,}6}{1125} =9,6\times10^{4}\,\mathrm{N}=96\,\mathrm{kN}.

Passo 5

Como P é o mesmo em ambos os trechos, as tensões são
\sigma_1 = \frac{P}{A_1} =\frac{9,6\times10^4}{4\times10^{-4}} =2,40\times10^8\,\mathrm{Pa}=240\,\mathrm{MPa},
\sigma_2 = \frac{P}{A_2} =\frac{9,6\times10^4}{8\times10^{-4}} =1,20\times10^8\,\mathrm{Pa}=120\,\mathrm{MPa}.
Ambas são de tensão (positivas), pois o trecho queria se contrair e o engaste puxou a barra.

Resposta

Tensão em AC: 240\,\mathrm{MPa} (tração)
Tensão em CB: 120\,\mathrm{MPa} (tração)

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