1. Determine a variação volumétrica de 1 \mathrm{~m}^{3} de água sujeito a uma variação de pressão de 1 atm a 20^{\circ} \mathrm{C}. Considere cágua, 20^{\circ} \mathrm{C}(\varepsilon=2,2 \mathrm{GPa}). Nesse caso, qual é a variação volumétrica percentual?
    Resp.: d V=4,606.10^{-5} m^{3}=0,0046 \%.

Passo 1

O enunciado pede dois resultados:
  • A variação volumétrica absoluta de 1\\ \mathrm{m}^{3} de água quando a pressão aumenta em 1\\ \text{atm} à temperatura de 20^\circ\mathrm{C}.
  • A variação volumétrica percentual correspondente.
Dados fornecidos:
  • Volume inicial: V_{0}=1\\ \mathrm{m}^{3}.
  • Variação de pressão: \Delta P=1\\ \text{atm}.
  • Módulo de incompressibilidade (bulk modulus) da água a 20^\circ\mathrm{C}: K=2,2\\ \text{GPa} (valor dado como \varepsilon=2,2\\ \text{GPa} no enunciado).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e essencial).
  • O módulo de incompressibilidade K relaciona uma variação de pressão com a deformação volumétrica relativa por:
K = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V_{0}}.
Aqui:
  • K é o módulo de incompressibilidade (unidade: \mathrm{Pa}),
  • \Delta P é a variação de pressão (unidade: \mathrm{Pa}),
  • \Delta V é a variação do volume (unidade: \mathrm{m}^{3}),
  • V_{0} é o volume inicial (unidade: \mathrm{m}^{3}).
Reescrevendo para obter \Delta V:
\frac{\Delta V}{V_{0}} = -\frac{\Delta P}{K} \qquad\Rightarrow\qquad \Delta V = -V_{0}\,\frac{\Delta P}{K}.
O sinal negativo indica que um aumento de pressão produz uma diminuição do volume (compressão).

Passo 3

Converter unidades para o SI:
  • 1\\ \text{atm} = 1,01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}. Então \Delta P = 1,01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • K = 2,2\\ \text{GPa} = 2,2\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}.
  • V_{0}=1\\ \mathrm{m}^{3}.

Passo 4

Calcular a variação volumétrica absoluta usando a fórmula:
\Delta V = -V_{0}\,\frac{\Delta P}{K}.
Substituindo os valores:
\Delta V = -1\cdot\frac{1,01325\times10^{5}}{2,2\times10^{9}}\\ \mathrm{m}^{3}.
Efetuando a divisão:
\Delta V = -4,60568\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^{3}.
Arredondando de forma coerente com os dados (3 algarismos significativos em K):
\Delta V \approx -4,606\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^{3}.

Passo 5

Calcular a variação percentual (módulo relativo vezes 100\%):
\frac{\Delta V}{V_{0}}\times100\% = -\frac{\Delta P}{K}\times100\%.
Numericamente:
\frac{\Delta V}{V_{0}}\times100\% = -\frac{1,01325\times10^{5}}{2,2\times10^{9}}\times100\% \approx -0,0046057\%.
Arredondando:
\text{Variação percentual} \approx -0,0046\%.çã
Interpretação rápida: o volume diminui cerca de 0,0046\% sob aumento de 1\\ \text{atm}.

Resposta

\Delta V = -4,606\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^{3}
\text{Variação percentual} = -0,0046\%çã

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