Determine a vazão a ser conduzida em uma galeria de drenagem fluvial, circular em tubos pré-moldado em concreto (n=0,013) e o diâmetro de 0,7 \mathrm{~m}. Para o bom funcionamento da galeria a altura do nível da água foi limitado a 80 \% do diâmetro dos tubos. De acordo com os levantamentos topográficos realizados no traçado da galeria, esta será implantada com uma declividade 1,5 \%.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Diâmetro do tubo: D=0{,}7\\ \mathrm{m}.
    • Rugosidade de Manning: n=0{,}013.
    • Nível de água limitado a 80\% do diâmetro: h=0{,}8D.
    • Declividade da galeria (inclinação): S=1{,}5\%=0{,}015.
  • O enunciado pede:
    • Determinar a vazão Q que pode ser conduzida quando a lâmina é h=0{,}8D na galeria circular.
Observação: a galeria opera como escoamento livre (tubo parcialmente cheio), então usaremos a fórmula de Manning para canais com seção parcialmente cheia, precisando calcular a área molhada A e o raio hidráulico R correspondentes à altura h.

Passo 2

Apresento a fórmula que vamos usar e explico cada termo (aulas rápidas e práticas).
A fórmula de Manning para vazão em escoamento uniforme é
Q=\dfrac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2}.
Onde:
  • Q é a vazão (em \mathrm{m^3/s}).
  • n é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional).
  • A é a área da seção molhada (em \mathrm{m^2}).
  • R é o raio hidráulico definido por R=\dfrac{A}{P}, com P sendo o perímetro molhado (em m).
  • S é a declividade (adimensional), aqui S=0{,}015.
Para um tubo circular parcialmente cheio, devemos obter A e P em função da profundidade h (ou, equivalentemente, em função de um ângulo central).

Passo 3

Geometria da seção circular parcialmente cheia — relação entre h, o ângulo central e as fórmulas de área e perímetro.
Defina r=\dfrac{D}{2}. Seja 2\theta o ângulo central (em radianos) correspondente à porção de círculo molhada. Para um tubo com profundidade de escoamento h medida a partir do fundo vale a relação conhecida
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(1-\dfrac{2h}{D}\right).
Com esse ângulo:
  • A área molhada é (fórmula do segmento circular)
A = \dfrac{D^{2}}{8}\,\bigl(2\theta-\sin 2\theta\bigr).
  • O perímetro molhado (comprimento do arco) é
P = D\,\theta.
  • O raio hidráulico é
R=\dfrac{A}{P}.
Explicando rapidamente: a expressão para \theta vem da geometria do segmento, e a fórmula de A é a área do setor menos a área do triângulo, tudo isso expresso em função de D e \theta. Não se assuste: vamos calcular passo a passo com os números do enunciado.

Passo 4

Calcular \theta usando h=0{,}8D.
Primeiro h = 0{,}8D. Então
1-\dfrac{2h}{D}=1-2(0{,}8)=1-1{,}6=-0{,}6.
Portanto
\theta=\operatorname{arccos}(-0{,}6).
Note que \cos\theta=-0{,}6. A partir disso podemos achar \sin\theta usando \sin\theta=\sqrt{1-\cos^{2}\theta}. Assim
\sin\theta=\sqrt{1-(-0{,}6)^{2}}=\sqrt{1-0{,}36}=\sqrt{0{,}64}=0{,}8.
(ângulo \theta está entre \tfrac{\pi}{2} e \pi, então \sin\theta é positivo; ótimo — valores simples!)
Também usaremos \sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta. Assim
\sin 2\theta = 2\cdot 0{,}8\cdot(-0{,}6) = -0{,}96.
Se precisar de \theta numérico:
\theta \approx 2{,}2142974356\\ \text{rad}
(eu usei aqui a inversa do cosseno; mas como vimos, não precisamos de muita trig além de \cos\theta=-0{,}6 e \sin\theta=0{,}8 para as expressões seguintes).

Passo 5

Calcular a área molhada A.
Usando a fórmula
A=\dfrac{D^{2}}{8}\,\bigl(2\theta-\sin 2\theta\bigr),
substituindo D=0{,}7\\ \mathrm{m}, \theta e \sin 2\theta=-0{,}96:
Primeiro calcule D^{2}/8:
\dfrac{D^{2}}{8}=\dfrac{(0{,}7)^{2}}{8}=\dfrac{0{,}49}{8}=0{,}06125\\ \mathrm{m^{2}}.
Agora 2\theta-\sin 2\theta \approx 2(2{,}2142974356)-(-0{,}96)=4{,}4285948712+0{,}96=5{,}3885948712.
Logo
A \approx 0{,}06125\times 5{,}3885948712 \approx 0{,}33005\\ \mathrm{m^{2}}.
(Arredondei a 5 casas decimais em A para manter precisão prática.)

Passo 6

Calcular o perímetro molhado P e o raio hidráulico R.
Perímetro molhado:
P=D\,\theta=0{,}7\times 2{,}2142974356 \approx 1{,}54901\\ \mathrm{m}.
Raio hidráulico:
R=\dfrac{A}{P}\approx \dfrac{0{,}33005}{1{,}54901}\approx 0{,}2130\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Calcular R^{2/3} e \sqrt{S} para usar na equação de Manning.
  • R^{2/3}=(0{,}2130)^{2/3}. Uma forma prática: (0{,}2130)^{2/3}\approx 0{,}3576 (pode obter pela fatoração R^{2/3}=(R^{1/3})^{2} ou por calculadora).
  • \sqrt{S}=\sqrt{0{,}015}\approx 0{,}12247.

Passo 8

Aplicar a fórmula de Manning e calcular Q.
Relembre
Q=\dfrac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2}.
Substituindo n=0{,}013, A\approx0{,}33005\\ \mathrm{m^{2}}, R^{2/3}\approx0{,}3576, \sqrt{S}\approx0{,}12247:
Calcule em etapas:
A\,R^{2/3}\approx 0{,}33005\times 0{,}3576 \approx 0{,}11805.
A\,R^{2/3}\,\sqrt{S}\approx 0{,}11805\times 0{,}12247 \approx 0{,}01444.
\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{0{,}013}\approx 76{,}9231.
Logo
Q \approx 76{,}9231\times 0{,}01444 \approx 1{,}11\\ \mathrm{m^{3}/s}.

Passo 9

Cheque rápido de coerência e dica de prova
  • Ordem de grandeza faz sentido: tubo de 0{,}7\\ \mathrm{m} parcialmente cheio conduz fluxo da ordem de 1\\ \mathrm{m^3/s} em declividade moderada, está coerente.
  • Dica prática para prova: sempre obtenha valores exatos simples da trigonometria quando possível (aqui \cos\theta=-0{,}6 deu \sin\theta=0{,}8, muito prático). Separe os cálculos em blocos: achar \theta, depois A, P, R, e por fim aplicar Manning.

Resposta

Q \approx 1{,}11\\ \mathrm{m^{3}/s}

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