Determine a vazão a ser conduzida em uma galeria de drenagem fluvial, circular em tubos pré-moldado em concreto
e o diâmetro de
. Para o bom funcionamento da galeria a altura do nível da água foi limitado a
do diâmetro dos tubos. De acordo com os levantamentos topográficos realizados no traçado da galeria, esta será implantada com uma declividade
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Diâmetro do tubo:
. - Rugosidade de Manning:
. - Nível de água limitado a
do diâmetro: . - Declividade da galeria (inclinação):
.
- Diâmetro do tubo:
-
O enunciado pede:
- Determinar a vazão
que pode ser conduzida quando a lâmina é na galeria circular.
- Determinar a vazão
Observação: a galeria opera como escoamento livre (tubo parcialmente cheio), então usaremos a fórmula de Manning para canais com seção parcialmente cheia, precisando calcular a área molhada
e o raio hidráulico
correspondentes à altura
.
Passo 2
Apresento a fórmula que vamos usar e explico cada termo (aulas rápidas e práticas).
A fórmula de Manning para vazão em escoamento uniforme é
Onde:
-
é a vazão (em ). -
é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional). -
é a área da seção molhada (em ). -
é o raio hidráulico definido por , com sendo o perímetro molhado (em m). -
é a declividade (adimensional), aqui .
Para um tubo circular parcialmente cheio, devemos obter
e
em função da profundidade
(ou, equivalentemente, em função de um ângulo central).
Passo 3
Geometria da seção circular parcialmente cheia — relação entre
, o ângulo central e as fórmulas de área e perímetro.
Defina
. Seja
o ângulo central (em radianos) correspondente à porção de círculo molhada. Para um tubo com profundidade de escoamento
medida a partir do fundo vale a relação conhecida
Com esse ângulo:
- A área molhada é (fórmula do segmento circular)
- O perímetro molhado (comprimento do arco) é
- O raio hidráulico é
Explicando rapidamente: a expressão para
vem da geometria do segmento, e a fórmula de
é a área do setor menos a área do triângulo, tudo isso expresso em função de
e
. Não se assuste: vamos calcular passo a passo com os números do enunciado.
Passo 4
Calcular
usando
.
Primeiro
. Então
Portanto
Note que
. A partir disso podemos achar
usando
. Assim
(ângulo
está entre
e
, então
é positivo; ótimo — valores simples!)
Também usaremos
. Assim
Se precisar de
numérico:
(eu usei aqui a inversa do cosseno; mas como vimos, não precisamos de muita trig além de
e
para as expressões seguintes).
Passo 5
Calcular a área molhada
.
Usando a fórmula
substituindo
,
e
:
Primeiro calcule
:
Agora
.
Logo
(Arredondei a
casas decimais em A para manter precisão prática.)
Passo 6
Calcular o perímetro molhado
e o raio hidráulico
.
Perímetro molhado:
Raio hidráulico:
Passo 7
Calcular
e
para usar na equação de Manning.
-
. Uma forma prática: (pode obter pela fatoração ou por calculadora). -
.
Passo 8
Aplicar a fórmula de Manning e calcular
.
Relembre
Substituindo
,
,
,
:
Calcule em etapas:
Logo
Passo 9
Cheque rápido de coerência e dica de prova
- Ordem de grandeza faz sentido: tubo de
parcialmente cheio conduz fluxo da ordem de em declividade moderada, está coerente. - Dica prática para prova: sempre obtenha valores exatos simples da trigonometria quando possível (aqui
deu , muito prático). Separe os cálculos em blocos: achar , depois , , , e por fim aplicar Manning.