Esboce o gráfico de f e ache cada limite se existir:
f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}-1, x<1 \\\\ 4-x, x \geq 1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} x^{2}-1, & x<1,\\\\ 4-x, & x\ge1, \end{cases}
pede para esboçar o gráfico e calcular os limites em torno de x=1 (os únicos pontos críticos de descontinuidade) e, se quisermos, em x\to\pm\infty. Vamos usar o conhecimento de limites laterais e comportamento de polinômios e funções lineares.

Passo 2

Para esboçar o gráfico de f:
  1. No ramo x<1, f(x)=x^{2}-1 é uma parábola com vértice em (0,-1), que corta o eixo x em (-1,0) e (1,0). Como só vale para x<1, no ponto x=1 deixamos um círculo aberto em
(1,\;1^{2}-1)=(1,0).
  1. No ramo x\ge1, f(x)=4-x é uma reta decrescente de inclinação -1, que em x=1 vale
f(1)=4-1=3,
logo colocamos um ponto fechado em (1,3). Para visualizar melhor, quando x=4 temos f(4)=0, então o segmento passa por (1,3) e (4,0).
Com isso temos um “salto” de valor em x=1: da parábola fechando em (1,0) (aberto) para a reta começando em (1,3).

Passo 3

Calculamos o limite pela esquerda em x=1. Como para x<1 vale f(x)=x^{2}-1,
\lim_{x\to1^{-}}f(x) =\lim_{x\to1^{-}}(x^{2}-1) =1^{2}-1 =0.

Passo 4

Calculamos o limite pela direita em x=1. Como para x\ge1 vale f(x)=4-x,
\lim_{x\to1^{+}}f(x) =\lim_{x\to1^{+}}(4-x) =4-1 =3.

Passo 5

O limite geral em x=1 existe somente se as duas “mãos” coincidirem. Aqui temos
\lim_{x\to1^{-}}f(x)=0 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to1^{+}}f(x)=3,
que são diferentes. Logo
\lim_{x\to1}f(x)\quad\text{não existe.}ã

Passo 6

Para completar, observamos o comportamento em infinito:
  • Quando x\to-\infty, usa-se o ramo x<1, logo
\lim_{x\to-\infty}f(x) =\lim_{x\to-\infty}(x^{2}-1) =+\infty.
  • Quando x\to+\infty, usa-se o ramo x\ge1, logo
\lim_{x\to+\infty}f(x) =\lim_{x\to+\infty}(4-x) =-\infty.

Resposta

Esboço: parábola x^{2}-1 para x<1 com círculo aberto em (1,0) e reta 4-x para x\ge1 com ponto fechado em (1,3).
\lim_{x\to1^{-}}f(x)=0,\quad \lim_{x\to1^{+}}f(x)=3,\quad \lim_{x\to1}f(x)\text{ não existe}.ã
\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty, \quad \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty.

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