Enrolamos um cabo leve e flexível em torno de um cilindro maciço com massa
e raio
. O cilindro gira com atrito desprezível em torno de um eixo horizontal estacionário. Amarramos a extremidade livre do fio a um objeto de massa
e em seguida soltamos o objeto em repouso a uma distância
acima do solo. À medida que o objeto cai, o fio se desenrola sem deslizar nem esticar, fazendo o cilindro girar. Mostre que a velocidade do objeto pode ser escrita como:
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos um cilindro maciço (massa
, raio
) preso num eixo e enrolamos um fio nele. Da ponta do fio pende um peso de massa
, que solta de uma altura
. Quando o peso cai, o fio desenrola sem deslizar, fazendo o cilindro girar.
Conteúdo: energia mecânica e rotação de corpos rígidos (momento de inércia, energia cinética de rotação) e conservação de energia.
O que precisamos:
Conteúdo: energia mecânica e rotação de corpos rígidos (momento de inércia, energia cinética de rotação) e conservação de energia.
O que precisamos:
- Equacionar a conservação de energia (potencial → cinética de translação + cinética de rotação).
- Saber o momento de inércia de um cilindro maciço (
). - Relacionar velocidade de descida
com velocidade angular via .
Passo 2
Vamos escrever a conservação de energia. Começamos com energia potencial gravitacional do peso:
Quando ele cai até chegar na velocidade
, parte dessa energia virou:
- energia cinética de translação do peso:
, - energia cinética de rotação do cilindro:
.
Então:
Passo 3
Agora a gente substitui o momento de inércia do cilindro maciço. Para um cilindro sólido que gira em torno do seu eixo, vale
Logo a energia de rotação é
Passo 4
Precisamos ligar
com a velocidade
do peso. Como o fio não escorrega, a velocidade linear do ponto de contato é
Substituindo em
:
Passo 5
Volta na equação de energia:
Somamos os termos em
:
Então