Enrolamos um cabo leve e flexível em torno de um cilindro maciço com massa M e raio R. O cilindro gira com atrito desprezível em torno de um eixo horizontal estacionário. Amarramos a extremidade livre do fio a um objeto de massa m e em seguida soltamos o objeto em repouso a uma distância h acima do solo. À medida que o objeto cai, o fio se desenrola sem deslizar nem esticar, fazendo o cilindro girar. Mostre que a velocidade do objeto pode ser escrita como:
v=raiz2 g h1+M2 m

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um cilindro maciço (massa , raio ) preso num eixo e enrolamos um fio nele. Da ponta do fio pende um peso de massa , que solta de uma altura . Quando o peso cai, o fio desenrola sem deslizar, fazendo o cilindro girar.
Conteúdo: energia mecânica e rotação de corpos rígidos (momento de inércia, energia cinética de rotação) e conservação de energia.
O que precisamos:
  • Equacionar a conservação de energia (potencial → cinética de translação + cinética de rotação).
  • Saber o momento de inércia de um cilindro maciço ( ).
  • Relacionar velocidade de descida com velocidade angular via .

Passo 2

Vamos escrever a conservação de energia. Começamos com energia potencial gravitacional do peso:
Ei=mgh
Quando ele cai até chegar na velocidade mgh ;=;12,m,v^2 ;+;12,I,omega^2 , parte dessa energia virou:
  1. energia cinética de translação do peso: ,
  2. energia cinética de rotação do cilindro: .
    Então:

Passo 3

Agora a gente substitui o momento de inércia do cilindro maciço. Para um cilindro sólido que gira em torno do seu eixo, vale
I ;=;tfrac12,M,R^2
Logo a energia de rotação é
12,I,omega^2 =12l(tfrac12MR^2r)omega^2 =14,M,R^2,omega^2

Passo 4

Precisamos ligar v = omega,R Longrightarrow omega = vR com a velocidade 14,M,R^2l( vRr)^2 =14,M,v^2 do peso. Como o fio não escorrega, a velocidade linear do ponto de contato é
Substituindo em :

Passo 5

Volta na equação de energia:
mgh ;=;12,m,v^2 ;+;14,M,v^2
Somamos os termos em mgh = l(tfrac12m + tfrac14Mr)v^2 =2m+M4,v^2 :
v^2 = 4,m,g,h2m+M =2,m,g,hm+tfrac12M ;=;2gh1+tfrac M2m
Então

Resposta

boxedv=raiz2,g,h1+M2,m

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