Qual é o centro e o raio da circunferência de equação:
x^{2}+y^{2}-4 x+6 y+9=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação da circunferência
x^{2}+y^{2}-4x+6y+9=0
Para achar o centro e o raio, vamos completar o quadrado em x e em y para escrever a equação na forma padrão
(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=r^{2}.

Passo 2

Separemos os termos em x e em y:
x^{2}-4x \quad\text{e}\quad y^{2}+6y,
e agrupemos o termo constante +9.

Passo 3

Complete o quadrado em x e em y:
x^{2}-4x=(x-2)^{2}-4,
y^{2}+6y=(y+3)^{2}-9.
Substituindo na equação original:
(x-2)^{2}-4 \;+\;(y+3)^{2}-9 \;+\;9 \;=\;0.

Passo 4

Simplificando os termos constantes:
(x-2)^{2}+(y+3)^{2}-4=0
(x-2)^{2}+(y+3)^{2}=4.
Comparando com (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=r^{2}, vemos que
x_{0}=2,\quad y_{0}=-3,\quad r^{2}=4\implies r=2.

Resposta

O centro é (2,-3) e o raio é 2.

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