Determine a velocidade \left(\mathbf{r}^{\'}(t)\right) e a aceleração \left(\mathbf{r}^{\' \'}(t)\right) e a velocidade escalar (norma do vetor velocidade, isto é, \left.\left\|\mathbf{r}^{\'}(t)\right\|\right) da partícula cuja função posição \mathbf{r}(t)=(x(t), y(t))= x(t) \mathbf{i}+y(t) \mathbf{j} é dada. Esboce a trajetória da partícula no plano x y e desenhe os vetores velocidade e aceleração para os valores de t especificados.
\mathbf{r}(t)=e^{t} \mathbf{i}+e^{2 t} \mathbf{j}, t=0

Passo 1

O enunciado dá a função posição
\mathbf{r}(t) = e^{t}\,\mathbf{i} + e^{2t}\,\mathbf{j}
e pede ( 1) a velocidade \mathbf{r}'(t), ( 2) a aceleração \mathbf{r}''(t), ( 3) a velocidade escalar \|\mathbf{r}'(t)\|, ( 4) esboçar a trajetória no plano xy e ( 5) desenhar os vetores velocidade e aceleração para t=0. Para isso vamos usar deriva-ção de funções componentes e norma de vetor.

Passo 2

Derivando cada componente de \mathbf{r}(t) em relação a t, obtemos a velocidade:
\mathbf{r}'(t) = \frac{d}{dt}\bigl(e^{t}\bigr)\,\mathbf{i} + \frac{d}{dt}\bigl(e^{2t}\bigr)\,\mathbf{j} = e^{t}\,\mathbf{i} + 2\,e^{2t}\,\mathbf{j}.

Passo 3

Derivando \mathbf{r}'(t) em relação a t, temos a aceleração:
\mathbf{r}''(t) = \frac{d}{dt}\bigl(e^{t}\bigr)\,\mathbf{i} + \frac{d}{dt}\bigl(2\,e^{2t}\bigr)\,\mathbf{j} = e^{t}\,\mathbf{i} + 4\,e^{2t}\,\mathbf{j}.

Passo 4

A velocidade escalar é a norma de \mathbf{r}'(t):
\|\mathbf{r}'(t)\| = \sqrt{\bigl(e^{t}\bigr)^{2} + \bigl(2\,e^{2t}\bigr)^{2}} = \sqrt{e^{2t} + 4\,e^{4t}} = e^{t}\sqrt{1 + 4\,e^{2t}}.

Passo 5

Para esboçar a trajetória, eliminamos t: de x=e^{t} segue t=\ln x, e
y = e^{2t} = \bigl(e^{t}\bigr)^{2} = x^{2}.
Logo a curva é a parábola y = x^{2} com x>0. No plano xy traçamos essa parábola voltada para cima.

Passo 6

Em t=0 temos
\mathbf{r}(0) = (1,1),\quad \mathbf{r}'(0) = (1,2),\quad \mathbf{r}''(0) = (1,4),\quad \|\mathbf{r}'(0)\| = \sqrt{1^{2}+2^{2}} = \sqrt{5}.

Passo 7

No ponto (1,1) desenhamos o vetor velocidade (1,2), apontando para cima e à direita com inclinação 2, e o vetor aceleração (1,4), ainda mais inclinado. Isso ilustra como a partícula acelera ao longo da parábola.

Resposta

Velocidade:
\mathbf{r}'(t) = e^{t}\,\mathbf{i} + 2\,e^{2t}\,\mathbf{j}.
Aceleração:
\mathbf{r}''(t) = e^{t}\,\mathbf{i} + 4\,e^{2t}\,\mathbf{j}.
Velocidade escalar:
\|\mathbf{r}'(t)\| = e^{t}\sqrt{1 + 4\,e^{2t}}.
Trajetória: parábola y=x^{2} para x>0.
Em t=0:
\mathbf{r}(0)=(1,1),
\mathbf{r}'(0)=(1,2),
\mathbf{r}''(0)=(1,4),
\|\mathbf{r}'(0)\|=\sqrt{5}.

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