Se V(x, y) é o potencial elétrico em um ponto ( x, y ) no plano x y, então as curvas de nível de V são chamadas de curvas equipotenciais, porque em todos os pontos dessa curva o potencial elétrico é o mesmo. Esboce algumas curvas equipotenciais de V(x, y)=\frac{10}{\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}}.

Passo 1

O enunciado pede que a gente esboce as curvas de nível (equipotenciais) da função
V(x,y)=\frac{10}{\sqrt{4 - x^2 - y^2}}.
O conteúdo envolvido é encontrar as curvas de nível de uma função de duas variáveis, ou seja, resolver
\displaystyle V(x,y)=V_0
e interpretar geometricamente o resultado.

Passo 2

Para uma constante genérica V_0, impomos
\frac{10}{\sqrt{4 - x^2 - y^2}} = V_0.
Isolando a raiz, temos
\sqrt{4 - x^2 - y^2} = \frac{10}{V_0}.

Passo 3

Elevando ao quadrado, obtemos
4 - x^2 - y^2 = \biggl(\frac{10}{V_0}\biggr)^{2} \quad\Longrightarrow\quad x^2 + y^2 = 4 - \frac{100}{V_0^{2}}.
Isso mostra que cada curva equipotencial é um círculo centrado na origem.

Passo 4

Para existir círculo real precisamos de
4 - \frac{100}{V_0^{2}} \ge 0 \;\Longrightarrow\; V_0 \ge 5,
pois no centro (0,0) o potencial mínimo é
\;V(0,0)=10/\sqrt{4}=5.
Alguns exemplos de raios r(V_0)=\sqrt{4-100/V_0^{2}}:
– Para V_0=6, r\approx\sqrt{4-100/36}=\sqrt{1,222\ldots}\approx1,11.
– Para V_0=10, r=\sqrt{4-100/100}=\sqrt{3}\approx1,73.
– Para V_0=20, r=\sqrt{4-100/400}=\sqrt{3,75}\approx1,94.

Passo 5

No esboço, desenhe círculos concêntricos de raio crescente a partir de r\approx0 (para V_0=5) até se aproximarem de r=2 (quando V_0\to\infty). Cada círculo corresponde a um valor de potencial maior.

Resposta

As curvas equipotenciais de V(x,y) são os círculos centrados na origem dados por
x^2 + y^2 = 4 \;-\;\frac{100}{V_0^{2}},
para cada V_0\ge5. Por exemplo, para V_0=6, 10 e 20 obtemos círculos de raios aproximados 1,11, 1,73 e 1,94, respectivamente.

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