Encontre os limites realizando primeiro a simplificação das frações.
\lim _{(x, y) \rightarrow(1,1)} \frac{x^{2}-2 x y+y^{2}}{x-y}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite da função de duas variáveis
\displaystyle f(x,y)=\frac{x^{2}-2xy+y^{2}}{x-y}
quando (x,y)\to(1,1). Se fizermos substituição direta, o numerador e o denominador vão para zero, resultando na forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Para resolver isso, vamos usar simplificação algébrica.

Passo 2

Observamos que o numerador é um quadrado perfeito. Em TeX:
x^{2}-2xy+y^{2} = (x - y)^{2}.

Passo 3

Para (x,y) próximo de (1,1) e x\neq y, podemos simplificar a fração:
\frac{(x - y)^{2}}{x - y} = x - y.

Passo 4

Agora calculamos o limite da função simplificada:
\lim_{(x,y)\to(1,1)} (x - y) = 1 - 1 = 0.

Resposta

0

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