Determine a velocidade \left(\mathbf{r}^{\'}(t)\right) e a aceleração \left(\mathbf{r}^{\' \'}(t)\right) e a velocidade escalar (norma do vetor velocidade, isto é, \left.\left\|\mathbf{r}^{\'}(t)\right\|\right) da partícula cuja função posição \mathbf{r}(t)=(x(t), y(t))= x(t) \mathbf{i}+y(t) \mathbf{j} é dada. Esboce a trajetória da partícula no plano x y e desenhe os vetores velocidade e aceleração para os valores de t especificados.
\mathbf{r}(t)=2 \cos t \mathbf{i}+2 \sin t \mathbf{j}, t=\pi / 3.

Passo 1

O enunciado nos dá a função posição
\mathbf{r}(t) = 2\cos t\,\mathbf{i} + 2\sin t\,\mathbf{j}
e pede:
– o vetor velocidade \mathbf{r}'(t),
– o vetor aceleração \mathbf{r}''(t),
– a velocidade escalar \|\mathbf{r}'(t)\|,
– e, para t=\pi/3, o esboço da trajetória (que é um círculo de raio 2) e os vetores velocidade e aceleração naquele ponto.

Passo 2

Derivamos componente a componente para obter o vetor velocidade:
\mathbf{r}'(t) =\frac{d}{dt}\bigl(2\cos t\bigr)\,\mathbf{i} +\frac{d}{dt}\bigl(2\sin t\bigr)\,\mathbf{j} =-2\sin t\,\mathbf{i}+2\cos t\,\mathbf{j}.

Passo 3

Derivando \mathbf{r}'(t) chegamos ao vetor aceleração:
\mathbf{r}''(t) =\frac{d}{dt}\bigl(-2\sin t\bigr)\,\mathbf{i} +\frac{d}{dt}\bigl(2\cos t\bigr)\,\mathbf{j} =-2\cos t\,\mathbf{i}-2\sin t\,\mathbf{j}.

Passo 4

A velocidade escalar é a norma de \mathbf{r}'(t):
\|\mathbf{r}'(t)\| =\sqrt{\bigl(-2\sin t\bigr)^2+\bigl(2\cos t\bigr)^2} =\sqrt{4\sin^2t+4\cos^2t} =2.

Passo 5

Para t=\pi/3, temos \cos(\pi/3)=\tfrac12 e \sin(\pi/3)=\tfrac{\sqrt3}{2}.
\mathbf{r}\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) =2\cos(\tfrac{\pi}{3})\,\mathbf{i}+2\sin(\tfrac{\pi}{3})\,\mathbf{j} =1\,\mathbf{i}+\sqrt3\,\mathbf{j}.
\mathbf{r}'\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) =-2\sin(\tfrac{\pi}{3})\,\mathbf{i}+2\cos(\tfrac{\pi}{3})\,\mathbf{j} =-\sqrt3\,\mathbf{i}+1\,\mathbf{j}.
\mathbf{r}''\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) =-2\cos(\tfrac{\pi}{3})\,\mathbf{i}-2\sin(\tfrac{\pi}{3})\,\mathbf{j} =-1\,\mathbf{i}-\sqrt3\,\mathbf{j}.
E a velocidade escalar continua \|\mathbf{r}'(\pi/3)\|=2.

Passo 6

A trajetória é o círculo de raio 2 centrado na origem. No ponto \bigl(1,\sqrt3\bigr) (que corresponde a t=\pi/3), o vetor velocidade \bigl(-\sqrt3,1\bigr) é tangente ao círculo, e o vetor aceleração \bigl(-1,-\sqrt3\bigr) aponta para o centro do círculo (movimento uniformemente circular).

Resposta

\displaystyle \mathbf{r}'(t)=-2\sin t\,\mathbf{i}+2\cos t\,\mathbf{j},
\displaystyle \mathbf{r}''(t)=-2\cos t\,\mathbf{i}-2\sin t\,\mathbf{j},
\displaystyle \|\mathbf{r}'(t)\|=2.
Para t=\pi/3:
\displaystyle \mathbf{r}\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=(1,\sqrt3),
\displaystyle \mathbf{r}'\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=(-\sqrt3,1),
\displaystyle \mathbf{r}''\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=(-1,-\sqrt3),
\displaystyle \|\mathbf{r}'(\tfrac{\pi}{3})\|=2.

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