Determine a veracidade de cada uma das sentenças abaixo, marcando \mathbf{V} para as verdadeiras e \mathbf{F} para as falsas, justificando as respostas.
( ) Se ( a_{n} ) é uma sequência crescente de termos positivos, então a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{a_{n}} é convergente;
Passo 1
O enunciado dá uma sequência (a_{n}) de termos positivos e crescente, e pede para decidir a veracidade da afirmação:
\text{``Se }(a_{n})\text{ é crescente e }a_{n}>0\text{, então a série }\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{a_{n}}\text{ é convergente.''}
Informações relevantes: (a_{n}) é crescente (ou seja, a_{n+1}\ge a_{n} para todo n) e a_{n}>0 para todo n. A série em questão é a série alternada com termos u_{n}=(-1)^{n}\frac{1}{a_{n}}. A pergunta: a afirmação é verdadeira ou falsa? Justificar.
Passo 2
Vou explicar um teste clássico que costuma aparecer nessas questões (o chamado critério de Leibniz para séries alternadas) e também uma condição necessária para qualquer série convergir — ambos vão ser úteis para decidir a veracidade.
Critério de Leibniz (alternating series test), enunciado de forma simples:
Sejam b_{n} números positivos tal que
b_{n} é monótona decrescente (isto é, b_{n+1}\le b_{n} para todo n); e
\lim_{n\to\infty} b_{n}=0.
Então a série alternada \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}b_{n} converge.
Explicando as hipóteses: em \sum(-1)^n b_n, o símbolo b_n representa o módulo dos termos (sempre positivo). O teste exige duas coisas: decrescimento de b_n e que b_n tenda a zero. Se qualquer uma falhar, não se garante convergência; em particular, se \lim b_n\ne0, a série diverge (essa última afirmação vem da condição necessária para convergência abaixo).
Condição necessária para convergência de séries:
Se \sum_{n=1}^{\infty} u_{n} converge, então é necessário que \lim_{n\to\infty} u_{n}=0. Ou seja, os termos devem tender a zero. Se os termos não tendem a zero, a série não pode convergir (teste do termo geral).
Passo 3
Relacionando com o problema: na série dada temos b_{n}=\dfrac{1}{a_{n}} (positivo). Como (a_{n}) é crescente e positiva, a_{n+1}\ge a_{n}>0 implica imediatamente que
\frac{1}{a_{n+1}}\le\frac{1}{a_{n}},
ou seja, \left(\dfrac{1}{a_{n}}\right) é monótona decrescente. Portanto a primeira hipótese do critério de Leibniz (decrescimento de b_{n}) é satisfeita automaticamente. Porém falta verificar a segunda hipótese: será que \dfrac{1}{a_{n}}\to0? Isso equivale a perguntar se a_{n}\to+\infty. A hipótese dada no enunciado (apenas “crescente e positiva”) não garante que a_{n}\to+\infty; uma sequência crescente pode ser limitada e convergir para um número finito maior que zero.
Então a questão chave: pode acontecer que \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{a_{n}}\neq0? Se sim, a série diverge por teste do termo geral; então a afirmação do enunciado seria falsa.
Passo 4
Vou construir um contraexemplo concreto para mostrar que a afirmação é falsa.
Como \lim_{n\to\infty}u_{n} não é 0 (os módulos tendem a 1), a série \sum_{n=1}^{\infty}u_{n} diverge pelo teste do termo geral. Assim encontramos um caso em que (a_{n}) é crescente e positiva, mas a série dada diverge.
Passo 5
Conclusão: a afirmação do enunciado é falsa. Apesar de \dfrac{1}{a_{n}} ser decrescente quando a_{n} é crescente, falta a garantia de que \dfrac{1}{a_{n}}\to0; sem isso a série alternada pode divergir. O exemplo a_{n}=\dfrac{n}{n+1} mostra isso explicitamente.