Determine a veracidade de cada uma das sentenças abaixo, marcando
para as verdadeiras e
para as falsas, justificando as respostas.
( ) A série
é convergente;
( ) A série
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede para decidir se a afirmação “a série é convergente” é verdadeira (
) ou falsa (
), justificando a resposta.
Informações relevantes fornecidas: a forma geral do termo geral é para
e o expoente é
.
Informações relevantes fornecidas: a forma geral do termo geral é
Passo 2
Apresento um teste padrão que usamos para séries do tipo
: o critério da p-série.
Enunciado do critério da p-série: a série
Enunciado do critério da p-série: a série
converge se, e somente se,
; converge para
e diverge para
. Vou justificar esse critério de modo simples usando a integral imprópria (Teste da integral), que é uma ferramenta comum e intuitiva.
Passo 3
Justificativa via Teste da Integral (explicada passo a passo): considere a função
para
e
fixo. Essa função é positiva, decrescente e contínua em
sempre que
, o que permite aplicar o Teste da Integral. Calculamos a integral imprópria
Se
, essa integral é
- Se
, então e quando , logo a integral é finita. Pelo Teste da Integral, a soma discreta converge. - Se
, então e quando , logo a integral diverge; pelo Teste da Integral, a série diverge.
No casoa integral é que diverge, e isso corresponde à série harmônica que diverge. Portanto o critério da p-série está justificado.
Passo 4
Agora aplico o critério ao nosso problema: o expoente da série é
. Primeiro, lembre que
Portanto
. Pelo critério da p-série, como
(na verdade
), a série
diverge. Vou também dar uma razão alternativa por comparação direta, porque é útil para a prova e fácil de lembrar.
Passo 5
Comparação direta com a série harmônica (alternativa e intuitiva): como
, temos
. Para todo
,
porque isso é equivalente a
, o que é verdade para
. A série
(a harmônica) diverge; portanto, como os termos da nossa série são maiores termo a termo que os da harmônica (todos positivos), a nossa série também diverge por comparação direta. Essa comparação dá uma justificativa simples e robusta que você pode usar sem cálculo complicado.
Resposta
(F)