Determine a veracidade de cada uma das sentenças abaixo, marcando
\mathbf{V} para as verdadeiras e \mathbf{F} para as falsas, justificando as respostas.
( ) A série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\ln (2)}} é convergente;

Passo 1

O enunciado dá a série \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{\ln(2)}} e pede para decidir se a afirmação “a série é convergente” é verdadeira ( \mathbf{V}) ou falsa ( \mathbf{F}), justificando a resposta.
Informações relevantes fornecidas: a forma geral do termo geral é \dfrac{1}{n^{\ln(2)}} para n=1,2,3,\dots e o expoente é \ln(2).

Passo 2

Apresento um teste padrão que usamos para séries do tipo \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{p}}: o critério da p-série.
Enunciado do critério da p-série: a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1; converge para p>1 e diverge para p\le 1. Vou justificar esse critério de modo simples usando a integral imprópria (Teste da integral), que é uma ferramenta comum e intuitiva.

Passo 3

Justificativa via Teste da Integral (explicada passo a passo): considere a função f(x)=x^{-p} para x\ge 1 e p fixo. Essa função é positiva, decrescente e contínua em [1,\infty) sempre que p>0, o que permite aplicar o Teste da Integral. Calculamos a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx.
Se p\neq 1, essa integral é
\int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx = \left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_{1}^{\infty}.
  • Se p>1, então 1-p<0 e x^{1-p}\to 0 quando x\to\infty, logo a integral é finita. Pelo Teste da Integral, a soma discreta \sum 1/n^{p} converge.
  • Se p<1, então 1-p>0 e x^{1-p}\to\infty quando x\to\infty, logo a integral diverge; pelo Teste da Integral, a série diverge.
    No caso p=1 a integral \int_{1}^{\infty} x^{-1}\,dx é \ln x que diverge, e isso corresponde à série harmônica \sum 1/n que diverge. Portanto o critério da p-série está justificado.

Passo 4

Agora aplico o critério ao nosso problema: o expoente da série é p=\ln(2). Primeiro, lembre que
\ln(2)\approx 0,6931\ldots
Portanto \ln(2)<1. Pelo critério da p-série, como p=\ln(2)\le 1 (na verdade p<1), a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\ln(2)}}
diverge. Vou também dar uma razão alternativa por comparação direta, porque é útil para a prova e fácil de lembrar.

Passo 5

Comparação direta com a série harmônica (alternativa e intuitiva): como \ln(2)<1, temos 1-\ln(2)>0. Para todo n\ge 1,
\frac{1}{n^{\ln(2)}} \ge \frac{1}{n}
porque isso é equivalente a n^{1-\ln(2)}\ge 1, o que é verdade para n\ge 1. A série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} (a harmônica) diverge; portanto, como os termos da nossa série são maiores termo a termo que os da harmônica (todos positivos), a nossa série também diverge por comparação direta. Essa comparação dá uma justificativa simples e robusta que você pode usar sem cálculo complicado.

Resposta

(F)

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