Determine a veracidade de cada uma das sentenças abaixo, marcando
para as verdadeiras e
para as falsas, justificando as respostas.
( ) Se
converge, então
converge absolutamente;
( ) Se
Passo 1
O que o enunciado pede: decidir se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa e justificar.
Afirmação: “Se
converge, então
converge absolutamente.”
Informações/condições dadas: temos uma sequência
(presumivelmente de números reais ou complexos) e a hipótese é que a série das quadrados
converge. A conclusão solicitada na afirmação é que a série
converga absolutamente, isto é, que
seja convergente.
Passo 2
Definição importante (explicação didática do que é “converge absolutamente”): dizemos que a série
converge absolutamente quando a série
converge. A convergência absoluta implica convergência simples (se
converge então
converge), mas a recíproca não vale em geral.
Vou usar esse conceito explicitamente na justificativa: a afirmação pede que a convergência de
force a convergência de
.
Passo 3
Estratégia para decidir a veracidade: uma forma direta é encontrar um contraexemplo. Se eu achar uma sequência
tal que
converge mas
diverge, então a afirmação é falsa. Para construir contraexemplo simples, uso séries-p conhecidas.
Lembrete sobre séries-p (ferramenta até aqui básica): a série
converge se, e somente se,
. Em particular, para
a série harmônica
diverge, e para
a série
converge (é a série de Basileia; você pode lembrar que seu valor é
, mas só precisamos que converge).
Passo 4
Construção do contraexemplo passo a passo: defina
(Escolhi esta sequência porque suas quadrados e módulos são séries-p fáceis de analisar.)
Verificar a hipótese: analisar
.
Pelo teste de séries-p com
, essa série converge. Logo a hipótese
converge é satisfeita por essa sequência.
Verificar a conclusão: analisar
.
Mas esta é a série harmônica, que diverge (caso clássico: por comparação integrando
ou por agrupamento, etc.). Portanto
diverge, ou seja,
não converge absolutamente.
Passo 5
Interpretação e lição geral (aulas práticas para a prova): do exemplo anterior tiramos uma conclusão conceitual importante para usar em outras questões da prova.
-
Fato útil: se
converge (convergência absoluta), então converge. Explicação curta e prática: como , existe tal que para temos ; para esses vale . Assim, comparando as caudas, implica . Em termos de espaços de sequências: . -
Porém a recíproca é falsa:
. O contraexemplo mostra exatamente isso: (porque ) mas (porque ). Então não se pode deduzir convergência absoluta de apenas a partir de .
Dica de prova curta que pode cair na hora da prova: quando pedir “a partir de
está provado que
converge?”, procure imediatamente por um contraexemplo formado por uma série-p com expoente adequado (geralmente
ou
com
são bons candidatos).
Passo 6
Conclusão final da justificativa: apresentamos explicitamente um contraexemplo e explicamos a razão teórica (inclusões entre
e
). Assim, a implicação dada no enunciado não é verdadeira em geral.