Determine a veracidade de cada uma das sentenças abaixo, marcando
\mathbf{V} para as verdadeiras e \mathbf{F} para as falsas, justificando as respostas.
( ) Se \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2} converge, então \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge absolutamente;

Passo 1

O que o enunciado pede: decidir se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa e justificar.
Afirmação: “Se \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2} converge, então \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge absolutamente.”
Informações/condições dadas: temos uma sequência (a_{n})_{n\ge1} (presumivelmente de números reais ou complexos) e a hipótese é que a série das quadrados \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2} converge. A conclusão solicitada na afirmação é que a série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converga absolutamente, isto é, que \sum_{n=1}^{\infty} |a_{n}| seja convergente.

Passo 2

Definição importante (explicação didática do que é “converge absolutamente”): dizemos que a série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge absolutamente quando a série \sum_{n=1}^{\infty} |a_{n}| converge. A convergência absoluta implica convergência simples (se \sum |a_n| converge então \sum a_n converge), mas a recíproca não vale em geral.
Vou usar esse conceito explicitamente na justificativa: a afirmação pede que a convergência de \sum a_n^2 force a convergência de \sum |a_n|.

Passo 3

Estratégia para decidir a veracidade: uma forma direta é encontrar um contraexemplo. Se eu achar uma sequência (a_n) tal que \sum a_n^2 converge mas \sum |a_n| diverge, então a afirmação é falsa. Para construir contraexemplo simples, uso séries-p conhecidas.
Lembrete sobre séries-p (ferramenta até aqui básica): a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1. Em particular, para p=1 a série harmônica \sum 1/n diverge, e para p=2 a série \sum 1/n^{2} converge (é a série de Basileia; você pode lembrar que seu valor é \pi^{2}/6, mas só precisamos que converge).

Passo 4

Construção do contraexemplo passo a passo: defina
a_{n}=\frac{1}{n},\qquad n\ge1.
(Escolhi esta sequência porque suas quadrados e módulos são séries-p fáceis de analisar.)
Verificar a hipótese: analisar \sum a_{n}^{2}.
\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}.
Pelo teste de séries-p com p=2>1, essa série converge. Logo a hipótese \sum a_n^2 converge é satisfeita por essa sequência.
Verificar a conclusão: analisar \sum |a_{n}|.
\sum_{n=1}^{\infty}|a_{n}|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}.
Mas esta é a série harmônica, que diverge (caso clássico: por comparação integrando 1/x ou por agrupamento, etc.). Portanto \sum |a_n| diverge, ou seja, \sum a_n não converge absolutamente.

Passo 5

Interpretação e lição geral (aulas práticas para a prova): do exemplo anterior tiramos uma conclusão conceitual importante para usar em outras questões da prova.
  • Fato útil: se \sum_{n=1}^{\infty} |a_n| converge (convergência absoluta), então \sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 converge. Explicação curta e prática: como a_n\to0, existe N tal que para n\ge N temos |a_n|<1; para esses n vale |a_n|^2\le |a_n|. Assim, comparando as caudas, \sum |a_n|<\infty implica \sum |a_n|^2<\infty. Em termos de espaços de sequências: \ell^{1}\subset \ell^{2}.
  • Porém a recíproca é falsa: \ell^{2}\not\subset \ell^{1}. O contraexemplo \,a_n=1/n mostra exatamente isso: (1/n)\in\ell^{2} (porque \sum 1/n^{2}<\infty) mas (1/n)\notin\ell^{1} (porque \sum 1/n=\infty). Então não se pode deduzir convergência absoluta de \sum a_n apenas a partir de \sum a_n^2.
Dica de prova curta que pode cair na hora da prova: quando pedir “a partir de \sum a_n^2 está provado que \sum a_n converge?”, procure imediatamente por um contraexemplo formado por uma série-p com expoente adequado (geralmente 1/n ou 1/n^{p} com 1<p\le2 são bons candidatos).

Passo 6

Conclusão final da justificativa: apresentamos explicitamente um contraexemplo e explicamos a razão teórica (inclusões entre \ell^{1} e \ell^{2}). Assim, a implicação dada no enunciado não é verdadeira em geral.

Resposta

\mathbf{F}

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