Determine a veracidade de cada uma das sentenças abaixo, marcando \mathbf{V} para as verdadeiras e \mathbf{F} para as falsas, justificando as respostas.
( ) A série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\pi / 3}} é convergente.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine se a sentença abaixo é verdadeira (marcar \mathbf{V}) ou falsa (\mathbf{F}) e justifique:
( ) A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\pi/3}} é convergente.
Informações dadas: a série é uma soma infinita cujos termos gerais são \displaystyle a_n=\frac{1}{n^{\pi/3}}. Não há outras restrições; preciso decidir convergência e justificar.
Passo 2
Vamos identificar o tipo de série: \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}} com p=\pi/3. Esse é o caso clássico chamado série p-série. Vou ensinar o teste básico para p-séries, que é o critério que usamos aqui.
Passo 3
Enunciado do teste de p-série (fórmula e significado):
\text{A série }\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1, e diverge se p\le 1.
Explicação do que as variáveis significam: na expressão \frac{1}{n^{p}}, n é o índice que vai para o infinito (n=1,2,3,\dots) e p é um número real fixo que determina a rapidez com que os termos vão a zero. A condição p>1 é a fronteira entre decaimento suficientemente rápido (convergência) e decaimento lento demais (divergência).
Passo 4
Razão do teste (prova via teste da integral, explicada passo a passo). Considere a função
f(x)=\frac{1}{x^{p}},\qquad x\ge1.
Observações: f(x)>0 e f é decrescente para x\ge1 quando p>0, condições que permitem usar o teste da integral. O teste da integral diz que a série \sum_{n=1}^{\infty} f(n) e a integral imprópria \int_{1}^{\infty} f(x)\,dx têm o mesmo comportamento de convergência: ou ambas convergem, ou ambas divergem.
Passo 5
Calcular a integral imprópria (mostrar as contas):