Determine a veracidade de cada uma das sentenças abaixo, marcando
\mathbf{V} para as verdadeiras e \mathbf{F} para as falsas, justificando as respostas.
( ) A série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\pi / 3}} é convergente.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine se a sentença abaixo é verdadeira (marcar \mathbf{V}) ou falsa ( \mathbf{F}) e justifique:
( ) A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\pi/3}} é convergente.
Informações dadas: a série é uma soma infinita cujos termos gerais são \displaystyle a_n=\frac{1}{n^{\pi/3}}. Não há outras restrições; preciso decidir convergência e justificar.

Passo 2

Vamos identificar o tipo de série: \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}} com p=\pi/3. Esse é o caso clássico chamado série p-série. Vou ensinar o teste básico para p-séries, que é o critério que usamos aqui.

Passo 3

Enunciado do teste de p-série (fórmula e significado):
\text{A série }\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}é
converge se, e somente se, p>1, e diverge se p\le 1.
Explicação do que as variáveis significam: na expressão \frac{1}{n^{p}}, n é o índice que vai para o infinito ( n=1,2,3,\dots) e p é um número real fixo que determina a rapidez com que os termos vão a zero. A condição p>1 é a fronteira entre decaimento suficientemente rápido (convergência) e decaimento lento demais (divergência).

Passo 4

Razão do teste (prova via teste da integral, explicada passo a passo). Considere a função
f(x)=\frac{1}{x^{p}},\qquad x\ge1.
Observações: f(x)>0 e f é decrescente para x\ge1 quando p>0, condições que permitem usar o teste da integral. O teste da integral diz que a série \sum_{n=1}^{\infty} f(n) e a integral imprópria \int_{1}^{\infty} f(x)\,dx têm o mesmo comportamento de convergência: ou ambas convergem, ou ambas divergem.

Passo 5

Calcular a integral imprópria (mostrar as contas):
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{p}}\,dx=\lim_{R\to\infty}\int_{1}^{R}x^{-p}\,dx.
Para p\neq 1 temos a primitiva
\int x^{-p}\,dx=\frac{x^{1-p}}{1-p}.
Logo
\int_{1}^{R}x^{-p}\,dx=\left.\frac{x^{1-p}}{1-p}\right|_{1}^{R}=\frac{R^{1-p}-1}{1-p}.
Agora analisamos o limite quando R\to\infty:
  • Se p>1, então 1-p<0 e R^{1-p}\to 0 quando R\to\infty. Assim a integral tende a
\frac{0-1}{1-p}=\frac{1}{p-1},
um número finito, logo a integral converge.
  • Se p\le 1, a integral diverge (se p<1 a potência cresce e o termo explode; se p=1 a integral é \int_{1}^{R} \frac{1}{x}\,dx=\ln R\to\infty).
Portanto, pela integral test, a série \sum 1/n^{p} converge exatamente quando p>1.

Passo 6

Aplicando ao caso concreto: aqui p=\pi/3. Vou mostrar que \pi/3>1.
Sabemos que \pi é aproximadamente 3{,}14159. Então
\frac{\pi}{3}\approx\frac{3{,}14159}{3}=1{,}047197\ldots
Portanto \displaystyle\frac{\pi}{3}>1. (Também basta notar que \pi>3 implica \pi/3>1.)

Passo 7

Concluindo: como \displaystyle p=\frac{\pi}{3}>1, pela propriedade das p-séries (ou pelo teste da integral aplicado acima) a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\pi/3}}
converge.

Resposta

\mathbf{V}

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