Determine se é Verdadeiro (V) (provando a afirmativa) ou Falso (F) (dando contraexemplo):
( ) Se f é contínua em a, então
existe.
( ) Se f é contínua em a, então
Passo 1
O enunciado pede que decidamos se a afirmação é Verdadeira (V) ou Falsa (F). A afirmação é:
O que é pedido: escolher V ou F e, conforme o caso, provar a afirmação (se V) ou dar um contraexemplo (se F). Não há outros dados além da própria afirmação.
Passo 2
Vou lembrar claramente o que significa ser contínua em
. A definição que vou usar (forma conceitual) é:
Explicando em palavras: isso significa que, quando
se aproxima de
por quaisquer direções permitidas pelo domínio de
, os valores
se aproximam de
. Formalmente, usa-se a definição de limite (épsilon–delta) ou sequências, mas a ideia é: os valores de
próximos de
ficam próximos de
.
Agora explico o que significa a existência do limite lateral à esquerda
. Dizemos que
se, ao considerar apenas valores
do domínio de
que se aproximam de
, os
tendem para
. Em termos de sequências: para toda sequência
com
,
pertencente ao domínio de
e
, temos
. Um ponto importante: essa definição pressupõe que existam pontos do domínio de
à esquerda de
que possam se aproximar de
. Se não houver tais pontos (por exemplo, se
é o extremo esquerdo do domínio), então não existem sequências do tipo
tendendo a
, e por essa razão o limite lateral à esquerda não está definido nesse sentido (ou seja, a afirmação “existe” falha).
Passo 3
Construo um contraexemplo simples (ideia: domínio que não tem pontos à esquerda de
). Defina a função
Aqui escolhi
. Vou verificar os dois pontos necessários: (i)
é contínua em
; (ii)
não existe (ou não está definida) porque não há pontos à esquerda de
no domínio.
Passo 4
Verificação da continuidade em
. Como
para todo
, temos
. Para qualquer sequência
no domínio que tenda a
, necessariamente
e, portanto,
para todo
. Assim
. Pela caracterização sequencial de continuidade,
, ou seja,
é contínua em
. (Também se pode usar diretamente a definição épsilon–delta: para qualquer
basta escolher
arbitrário, pois
para todo
no domínio.)
Verificação de
. Para o limite lateral à esquerda precisamos considerar valores
do domínio que se aproximem de
. Mas o domínio de
é
: não existem valores
no domínio. Logo não há sequências
com
e
com
pertencente ao domínio. Pela definição usual de limite lateral, a ausência de pontos à esquerda significa que
não está definido (ou não existe). Portanto temos uma função contínua em
cuja limite à esquerda em
não existe: isso é um contraexemplo à afirmação inicial.
Passo 5
Conclusão: a afirmação é falsa. A continuidade em
não garante que o limite pela esquerda exista — por exemplo quando
é um extremo do domínio (como
no exemplo acima).
Resposta
F