Determine se é Verdadeiro (V) (provando a afirmativa) ou Falso (F) (dando contraexemplo):
( ) Se f é contínua em a, então \lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x) existe.

Passo 1

O enunciado pede que decidamos se a afirmação é Verdadeira (V) ou Falsa (F). A afirmação é:
\text{Se } f \text{ é contínua em } a,\\ \text{então } \lim_{x\to a^-} f(x) \text{ existe.}éíã
O que é pedido: escolher V ou F e, conforme o caso, provar a afirmação (se V) ou dar um contraexemplo (se F). Não há outros dados além da própria afirmação.

Passo 2

Vou lembrar claramente o que significa ser contínua em a. A definição que vou usar (forma conceitual) é:
f \text{ é contínua em } a \quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{x\to a} f(x)=f(a).éí
Explicando em palavras: isso significa que, quando x se aproxima de a por quaisquer direções permitidas pelo domínio de f, os valores f(x) se aproximam de f(a). Formalmente, usa-se a definição de limite (épsilon–delta) ou sequências, mas a ideia é: os valores de f próximos de a ficam próximos de f(a).
Agora explico o que significa a existência do limite lateral à esquerda \lim_{x\to a^-} f(x). Dizemos que
\lim_{x\to a^-} f(x)=L
se, ao considerar apenas valores x<a do domínio de f que se aproximam de a, os f(x) tendem para L. Em termos de sequências: para toda sequência (x_n) com x_n<a, x_n pertencente ao domínio de f e x_n\to a, temos f(x_n)\to L. Um ponto importante: essa definição pressupõe que existam pontos do domínio de f à esquerda de a que possam se aproximar de a. Se não houver tais pontos (por exemplo, se a é o extremo esquerdo do domínio), então não existem sequências do tipo x_n<a tendendo a a, e por essa razão o limite lateral à esquerda não está definido nesse sentido (ou seja, a afirmação “existe” falha).

Passo 3

Construo um contraexemplo simples (ideia: domínio que não tem pontos à esquerda de a). Defina a função
f:[0,\infty)\to\mathbb{R},\qquad f(x)=0\\ \text{para todo } x\ge 0.
Aqui escolhi a=0. Vou verificar os dois pontos necessários: (i) f é contínua em 0; (ii) \lim_{x\to 0^-} f(x) não existe (ou não está definida) porque não há pontos à esquerda de 0 no domínio.

Passo 4

Verificação da continuidade em 0. Como f(x)=0 para todo x\ge 0, temos f(0)=0. Para qualquer sequência (x_n) no domínio que tenda a 0, necessariamente x_n\ge0 e, portanto, f(x_n)=0 para todo n. Assim f(x_n)\to 0=f(0). Pela caracterização sequencial de continuidade, \lim_{x\to 0} f(x)=f(0), ou seja, f é contínua em 0. (Também se pode usar diretamente a definição épsilon–delta: para qualquer \varepsilon>0 basta escolher \delta arbitrário, pois |f(x)-f(0)|=0<\varepsilon para todo x no domínio.)
Verificação de \lim_{x\to 0^-} f(x). Para o limite lateral à esquerda precisamos considerar valores x<0 do domínio que se aproximem de 0. Mas o domínio de f é [0,\infty): não existem valores x<0 no domínio. Logo não há sequências (x_n) com x_n<0 e x_n\to 0 com x_n pertencente ao domínio. Pela definição usual de limite lateral, a ausência de pontos à esquerda significa que \lim_{x\to 0^-} f(x) não está definido (ou não existe). Portanto temos uma função contínua em a=0 cuja limite à esquerda em 0 não existe: isso é um contraexemplo à afirmação inicial.

Passo 5

Conclusão: a afirmação é falsa. A continuidade em a não garante que o limite pela esquerda exista — por exemplo quando a é um extremo do domínio (como 0 no exemplo acima).

Resposta

F

Exercícios relacionados