( \mathbf{2} pontos) Determine a equação da reta tangente à curva obtida pela intersecção do elipsoide x^{2}+2 y^{2}+z^{2}=4 com o gráfico da função z=2 \sqrt{x}-y^{2} no ponto ( 1,1,1 ).
Passo 1
O enunciado pede: "Determinar a equação da reta tangente à curva obtida pela intersecção do elipsoide x^{2}+2 y^{2}+z^{2}=4 com o gráfico da função z=2 \sqrt{x}-y^{2} no ponto (1,1,1)". Informações dadas relevantes:
A curva C é a interseção de duas superfícies: a superfície S_1 definida por x^{2}+2y^{2}+z^{2}=4 e a superfície S_2 definida pelo gráfico z=2\sqrt{x}-y^{2}.
O ponto de interesse é (1,1,1) (está afirmado que pertence à interseção).
O objetivo é escrever a reta tangente a C em (1,1,1) (uma equação paramétrica ou equivalente).
Passo 2
Ideia do método (explicação didática, sem ainda calcular): a curva C é interseção de duas superfícies. Em cada superfície, o vetor gradiente fornece um vetor normal à superfície naquele ponto. Logo, na interseção, um vetor tangential à curva é orthogonal a ambos os vetores normais; isto é, a direção da reta tangente pode ser obtida pelo produto vetorial (cross product) dos gradientes das duas superfícies avaliados no ponto. Vou então:
construir funções cujos zeros representam as superfícies,
calcular seus gradientes (normais),
avaliar esses gradientes em (1,1,1),
fazer o produto vetorial para obter um vetor direção da reta tangente,
escrever a equação paramétrica da reta passando por (1,1,1) com essa direção.
Passo 3
Representar as superfícies como funções escalares cujos zeros definem as superfícies:
Para o elipsoide S_1, definir F(x,y,z)=x^{2}+2y^{2}+z^{2}-4. Então S_1 é F(x,y,z)=0.
Para o gráfico S_2, reescrever como H(x,y,z)=z-2\sqrt{x}+y^{2}. Então S_2 é H(x,y,z)=0.
Explicação breve: escrever assim é útil porque o gradiente de F e de H são vetores normais às superfícies F=0 e H=0.
Passo 4
Calcular o gradiente de F. Lembrando: o gradiente \nabla F é o vetor das derivadas parciais \left(\dfrac{\partial F}{\partial x},\dfrac{\partial F}{\partial y},\dfrac{\partial F}{\partial z}\right).
Para F(x,y,z)=x^{2}+2y^{2}+z^{2}-4:
Calcular o gradiente de H. Atenção ao termo 2\sqrt{x}: a derivada de \sqrt{x} é \dfrac{1}{2\sqrt{x}}, então a derivada de 2\sqrt{x} é 2\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}.
Para H(x,y,z)=z-2\sqrt{x}+y^{2}:
Obter um vetor direção da reta tangente como o produto vetorial \nabla F(1,1,1)\times\nabla H(1,1,1). Explico: o produto vetorial de dois vetores dá um vetor perpendicular a ambos; como os gradientes são normais às superfícies, o produto vetorial é tangente à interseção.
Simplificar o vetor direção. Podemos dividir por 4 e/ou trocar sinal para ficar com números menores e mais convenientes. Dividindo por 4 obtemos (0,-1,2). Multiplicando por -1 (orientação irrelevante para a reta) temos (0,1,-2). Vou usar (0,1,-2) como vetor direção da reta.
Passo 9
Escrever a equação paramétrica da reta tangente que passa por (1,1,1) com direção (0,1,-2). Se \mathbf{r}_0=(1,1,1) e \mathbf{v}=(0,1,-2), a equação paramétrica é
Explicação rápida: t=0 retorna o ponto (1,1,1); variando t segue-se a reta na direção escolhida.
Passo 10
Verificação rápida (controle de qualidade): um vetor direção da reta tangente deve ser ortogonal aos gradientes avaliados no ponto. Verificar com (0,1,-2):