( \mathbf{2} pontos) Determine a equação da reta tangente à curva obtida pela intersecção do elipsoide x^{2}+2 y^{2}+z^{2}=4 com o gráfico da função z=2 \sqrt{x}-y^{2} no ponto ( 1,1,1 ).

Passo 1

O enunciado pede: "Determinar a equação da reta tangente à curva obtida pela intersecção do elipsoide x^{2}+2 y^{2}+z^{2}=4 com o gráfico da função z=2 \sqrt{x}-y^{2} no ponto (1,1,1)". Informações dadas relevantes:
  • A curva C é a interseção de duas superfícies: a superfície S_1 definida por x^{2}+2y^{2}+z^{2}=4 e a superfície S_2 definida pelo gráfico z=2\sqrt{x}-y^{2}.
  • O ponto de interesse é (1,1,1) (está afirmado que pertence à interseção).
  • O objetivo é escrever a reta tangente a C em (1,1,1) (uma equação paramétrica ou equivalente).

Passo 2

Ideia do método (explicação didática, sem ainda calcular): a curva C é interseção de duas superfícies. Em cada superfície, o vetor gradiente fornece um vetor normal à superfície naquele ponto. Logo, na interseção, um vetor tangential à curva é orthogonal a ambos os vetores normais; isto é, a direção da reta tangente pode ser obtida pelo produto vetorial (cross product) dos gradientes das duas superfícies avaliados no ponto. Vou então:
  • construir funções cujos zeros representam as superfícies,
  • calcular seus gradientes (normais),
  • avaliar esses gradientes em (1,1,1),
  • fazer o produto vetorial para obter um vetor direção da reta tangente,
  • escrever a equação paramétrica da reta passando por (1,1,1) com essa direção.

Passo 3

Representar as superfícies como funções escalares cujos zeros definem as superfícies:
  • Para o elipsoide S_1, definir F(x,y,z)=x^{2}+2y^{2}+z^{2}-4. Então S_1 é F(x,y,z)=0.
  • Para o gráfico S_2, reescrever como H(x,y,z)=z-2\sqrt{x}+y^{2}. Então S_2 é H(x,y,z)=0.
    Explicação breve: escrever assim é útil porque o gradiente de F e de H são vetores normais às superfícies F=0 e H=0.

Passo 4

Calcular o gradiente de F. Lembrando: o gradiente \nabla F é o vetor das derivadas parciais \left(\dfrac{\partial F}{\partial x},\dfrac{\partial F}{\partial y},\dfrac{\partial F}{\partial z}\right).
Para F(x,y,z)=x^{2}+2y^{2}+z^{2}-4:
\frac{\partial F}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial F}{\partial y}=4y,\qquad \frac{\partial F}{\partial z}=2z.
Portanto
\nabla F(x,y,z)=(2x,\,4y,\,2z).

Passo 5

Calcular o gradiente de H. Atenção ao termo 2\sqrt{x}: a derivada de \sqrt{x} é \dfrac{1}{2\sqrt{x}}, então a derivada de 2\sqrt{x} é 2\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}.
Para H(x,y,z)=z-2\sqrt{x}+y^{2}:
\frac{\partial H}{\partial x}=-\frac{1}{\sqrt{x}},\qquad \frac{\partial H}{\partial y}=2y,\qquad \frac{\partial H}{\partial z}=1.
Logo
\nabla H(x,y,z)=\Bigl(-\frac{1}{\sqrt{x}},\,2y,\,1\Bigr).

Passo 6

Avaliar os gradientes no ponto (1,1,1).
Para \nabla F:
\nabla F(1,1,1)=(2\cdot1,\,4\cdot1,\,2\cdot1)=(2,\,4,\,2).
Para \nabla H: como \sqrt{1}=1,
\nabla H(1,1,1)=\Bigl(-\frac{1}{1},\,2\cdot1,\,1\Bigr)=(-1,\,2,\,1).

Passo 7

Obter um vetor direção da reta tangente como o produto vetorial \nabla F(1,1,1)\times\nabla H(1,1,1). Explico: o produto vetorial de dois vetores dá um vetor perpendicular a ambos; como os gradientes são normais às superfícies, o produto vetorial é tangente à interseção.
Calcular o produto vetorial explicitamente:
\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 2 & 4 & 2\\[4pt] -1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(4\cdot1-2\cdot2)-\mathbf{j}(2\cdot1-2\cdot(-1))+\mathbf{k}(2\cdot2-4\cdot(-1)).
Calcule cada termo:
\mathbf{i}(4-4)-\mathbf{j}(2+2)+\mathbf{k}(4+4)=\mathbf{i}\,0-\mathbf{j}\,4+\mathbf{k}\,8.
Portanto o produto vetorial é
(0,\,-4,\,8).]

Passo 8

Simplificar o vetor direção. Podemos dividir por 4 e/ou trocar sinal para ficar com números menores e mais convenientes. Dividindo por 4 obtemos (0,-1,2). Multiplicando por -1 (orientação irrelevante para a reta) temos (0,1,-2). Vou usar (0,1,-2) como vetor direção da reta.

Passo 9

Escrever a equação paramétrica da reta tangente que passa por (1,1,1) com direção (0,1,-2). Se \mathbf{r}_0=(1,1,1) e \mathbf{v}=(0,1,-2), a equação paramétrica é
\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_0+t\mathbf{v},
ou com coordenadas:
x(t)=1+0\cdot t=1,\qquad y(t)=1+t,\qquad z(t)=1-2t.
Explicação rápida: t=0 retorna o ponto (1,1,1); variando t segue-se a reta na direção escolhida.

Passo 10

Verificação rápida (controle de qualidade): um vetor direção da reta tangente deve ser ortogonal aos gradientes avaliados no ponto. Verificar com (0,1,-2):
\nabla F(1,1,1)\cdot(0,1,-2)= (2,4,2)\cdot(0,1,-2)=2\cdot0+4\cdot1+2\cdot(-2)=4-4=0,
\nabla H(1,1,1)\cdot(0,1,-2)=(-1,2,1)\cdot(0,1,-2)= -1\cdot0+2\cdot1+1\cdot(-2)=2-2=0.
Ambas somas dão 0, ou seja, o vetor é de fato tangente à interseção das superfícies.

Resposta

Equação paramétrica: \;x=1,\;y=1+t,\;z=1-2t\;.

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