Determine se é Verdadeiro (V) (provando a afirmativa) ou Falso (F) (dando contraexemplo):
( ) Se \lim _{x \rightarrow a} f(x) existe, então f é contínua em a.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a afirmação é Verdadeira (V) ou Falsa (F). A afirmação é:
“( ) Se \lim_{x\to a} f(x) existe, então f é contínua em a.”
Informações dadas:
  • Há uma função f e um ponto a.
  • A hipótese é que \lim_{x\to a} f(x) existe (ou seja, existe um número finito \,L tal que \lim_{x\to a} f(x)=L).
  • A pergunta é: a partir dessa hipótese, podemos concluir que f é contínua em a?

Passo 2

Vamos lembrar rigorosamente o que significam as duas coisas que aparecem na afirmação (isso é importante para entender por que a afirmação pode falhar).
Definição de limite finito em a:
\lim_{x\to a} f(x)=L
significa que existe um número L tal que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 com a propriedade: se 0<|x-a|<\delta então |f(x)-L|<\varepsilon.
Definição de continuidade em a:
A função f é contínua em a se (i) f está definida em a, (ii) \lim_{x\to a} f(x) existe, e (iii) \lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Ou seja, além da existência do limite, é necessário que o valor de f no ponto coincida com esse limite.
Observe o ponto crucial: a existência do limite não garante que o valor f(a) (se existir) seja igual a esse limite. Por isso a afirmação pode ser falsa — basta um contraexemplo onde o limite existe, mas f(a) é diferente do limite (ou f nem esteja definida em a).

Passo 3

Estratégia: fornecer um contraexemplo simples e rigoroso. Ou seja, construir uma função f e um ponto a tais que \lim_{x\to a} f(x) exista, mas f não seja contínua em a (isto é, f(a)\neq\lim_{x\to a} f(x) ou f(a) não esteja definido).

Passo 4

Considere a função f\) definida por \[f(x)=\begin{cases} x, & x\neq 0,\\[4pt] 1, & x=0, \end{cases}
e tome (a=0].
Primeiro vamos mostrar que \lim_{x\to 0} f(x) existe e calcular seu valor.
Para x\neq 0 temos f(x)=x. Sabemos intuitivamente que \lim_{x\to 0} x=0, mas vamos provar usando a definição \varepsilon- \delta:
Dado \varepsilon>0, escolha \delta=\varepsilon. Se 0<|x-0|<\delta então |f(x)-0|=|x|<\delta=\varepsilon. Isso satisfaz a condição da definição de limite, logo
\lim_{x\to 0} f(x)=0.
Portanto o limite existe e é 0.]

Passo 5

Agora verifiquemos a continuidade em a=0.
Temos f(0)=1 (pela definição da função) e \lim_{x\to 0} f(x)=0. Como f(0)\neq\lim_{x\to 0} f(x), a função f não é contínua em 0.
Assim encontramos um caso concreto em que o limite existe, mas a função não é contínua no ponto — isto é exatamente um contraexemplo que demonstra que a afirmação original é falsa.

Passo 6

Comentários finais e dica para prova:
  • A razão da falha é sempre a mesma: a existência do limite \lim_{x\to a} f(x) fala sobre o comportamento de f(x) para x próximos de a, mas não impõe nada sobre o valor f(a). Para garantir continuidade é preciso também que f(a) exista e seja igual ao limite.
  • Em provas ou exercícios, ao avaliar uma afirmação desse tipo, pense em funções com “discontinuidade removível”: elas têm limite em a mas o valor no ponto é diferente (ou não definido). Esses são os contracontraexemplos padrão.

Resposta

F

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