Determine se é Verdadeiro (V) (provando a afirmativa) ou Falso (F) (dando contraexemplo):
( ) Se
existe, então f é contínua em a.
( ) Se
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a afirmação é Verdadeira (V) ou Falsa (F). A afirmação é:
“( ) Se
existe, então
é contínua em
.”
Informações dadas:
- Há uma função
e um ponto . - A hipótese é que
existe (ou seja, existe um número finito tal que ). - A pergunta é: a partir dessa hipótese, podemos concluir que
é contínua em ?
Passo 2
Vamos lembrar rigorosamente o que significam as duas coisas que aparecem na afirmação (isso é importante para entender por que a afirmação pode falhar).
Definição de limite finito em
:
significa que existe um número
tal que, para todo
, existe
com a propriedade: se
então
.
Definição de continuidade em
:
A função é contínua em
se (i)
está definida em
, (ii)
existe, e (iii)
.
Ou seja, além da existência do limite, é necessário que o valor de no ponto coincida com esse limite.
A função
Ou seja, além da existência do limite, é necessário que o valor de
Observe o ponto crucial: a existência do limite não garante que o valor
(se existir) seja igual a esse limite. Por isso a afirmação pode ser falsa — basta um contraexemplo onde o limite existe, mas
é diferente do limite (ou
nem esteja definida em
).
Passo 3
Estratégia: fornecer um contraexemplo simples e rigoroso. Ou seja, construir uma função
e um ponto
tais que
exista, mas
não seja contínua em
(isto é,
ou
não esteja definido).
Passo 4
Considere a função
e tome (a=0].
Primeiro vamos mostrar que
existe e calcular seu valor.
Para
temos
. Sabemos intuitivamente que
, mas vamos provar usando a definição
-
:
Dado
, escolha
. Se
então
. Isso satisfaz a condição da definição de limite, logo
Portanto o limite existe e é
.]
Passo 5
Agora verifiquemos a continuidade em
.
Temos
(pela definição da função) e
. Como
, a função
não é contínua em
.
Assim encontramos um caso concreto em que o limite existe, mas a função não é contínua no ponto — isto é exatamente um contraexemplo que demonstra que a afirmação original é falsa.
Passo 6
Comentários finais e dica para prova:
- A razão da falha é sempre a mesma: a existência do limite
fala sobre o comportamento de para próximos de , mas não impõe nada sobre o valor . Para garantir continuidade é preciso também que exista e seja igual ao limite. - Em provas ou exercícios, ao avaliar uma afirmação desse tipo, pense em funções com “discontinuidade removível”: elas têm limite em
mas o valor no ponto é diferente (ou não definido). Esses são os contracontraexemplos padrão.
Resposta
F