Questão: ( 1,6 pontos) Uma partícula partindo do ponto
, se move com o vetor posição
Sabe-se que a velocidade da partícula é dada por
. Determine o vetor posição
.
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula como
e diz que a velocidade é
Também diz que a partícula parte do ponto
. Ou seja, a condição inicial é
O que o problema pede: determinar o vetor posição
, isto é, encontrar as funções
e
que satisfazem a relação dada para
e a condição inicial.
Passo 2
Traduzimos velocidade em derivadas das componentes da posição. Por definição,
Comparando com o enunciado obtemos o sistema de equações diferenciais ordinárias:
Nossa meta é resolver este sistema com a condição inicial
.
Passo 3
Estratégia prática (muito usada em prova): transformar o sistema numa única equação de segunda ordem para uma das incógnitas (por exemplo
), resolvê-la e depois obter a outra incógnita por substituição. Para isso derivamos a primeira equação:
Agora substituímos
pela segunda equação
. Assim
Rearranjando, obtemos a equação linear não-homogênea de segunda ordem:
Passo 4
Resolveremos a equação
Primeiro a solução geral da equação homogênea associada
. A equação característica é
portanto
. Logo a solução homogênea é
onde
são constantes.
Explicando rapidamente o que foi feito: para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes procura-se
, substitui-se e resolve-se a equação polinomial em
; as raízes geram as exponenciais da solução.
Passo 5
Agora precisamos de uma solução particular
para a parte não homogênea
. Observação importante sobre método dos coeficientes indeterminados: quando o termo do lado direito é uma solução da homogênea (aqui
e
são soluções da homogênea), multiplicamos por
para tentar uma forma particular. Assim tentamos
com constantes
a determinar.
Passo 6
Calculamos
e
. Primeiro
Derivando novamente,
Agora substituímos em
:
Igualando ao lado direito
obtemos o sistema para
:
Logo
Passo 7
A solução particular encontrada é
A solução geral para
é soma da homogênea com a particular:
Passo 8
Agora obtemos
usando a relação
, isto é
Calculamos
. Derivando a expressão de
:
Subtraindo
obtemos
É conveniente escrever de forma mais clara (colocando fator
quando útil), mas vamos aplicar as condições iniciais primeiro.
Passo 9
Aplicamos a condição inicial [\vec{s}(0)=(1,0)).
Calcule
:
Calcule
. Usando a expressão de
em
:
Como
, segue
Resolvendo o sistema
somando as equações dá
. Substituindo em
obtém-se
.]
Passo 10
Substituindo
e
nas fórmulas finais:
Para
:
Para
(usar a forma direta obtida ou calcular
com os
já conhecidos). Substituindo dá
Podemos deixar
escrito como par ordenado:
Breve verificação mental: em
obtemos
e
, como exigido. Além disso, derivando essas expressões recupera-se
, então a solução é consistente.