2^{\underline{a}} Questão: ( 1,6 pontos) Uma partícula partindo do ponto A(1,0), se move com o vetor posição
\vec{s}(t)=(x(t), y(t)) .
Sabe-se que a velocidade da partícula é dada por \vec{v}(t)=\left(y+e^{t}, x+e^{-t}\right). Determine o vetor posição \vec{s}.

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula como \vec{s}(t)=(x(t),y(t)) e diz que a velocidade é
\vec{v}(t)=\bigl(y+e^{t},\;x+e^{-t}\bigr).
Também diz que a partícula parte do ponto A(1,0). Ou seja, a condição inicial é
\vec{s}(0)=(x(0),y(0))=(1,0).
O que o problema pede: determinar o vetor posição \vec{s}(t), isto é, encontrar as funções x(t) e y(t) que satisfazem a relação dada para \vec{v}(t) e a condição inicial.

Passo 2

Traduzimos velocidade em derivadas das componentes da posição. Por definição,
\vec{v}(t)=\bigl(x'(t),y'(t)\bigr).
Comparando com o enunciado obtemos o sistema de equações diferenciais ordinárias:
x'(t)=y(t)+e^{t},
y'(t)=x(t)+e^{-t}.
Nossa meta é resolver este sistema com a condição inicial x(0)=1,\;y(0)=0.

Passo 3

Estratégia prática (muito usada em prova): transformar o sistema numa única equação de segunda ordem para uma das incógnitas (por exemplo x), resolvê-la e depois obter a outra incógnita por substituição. Para isso derivamos a primeira equação:
x''(t)=y'(t)+e^{t}.
Agora substituímos y'(t) pela segunda equação y'(t)=x(t)+e^{-t}. Assim
x''(t)=x(t)+e^{-t}+e^{t}.
Rearranjando, obtemos a equação linear não-homogênea de segunda ordem:
x''(t)-x(t)=e^{t}+e^{-t}.

Passo 4

Resolveremos a equação
x''-x=e^{t}+e^{-t}.
Primeiro a solução geral da equação homogênea associada \,x''-x=0. A equação característica é
r^{2}-1=0,
portanto r=\pm 1. Logo a solução homogênea é
x_{h}(t)=C_{1}e^{t}+C_{2}e^{-t},
onde C_{1},C_{2} são constantes.
Explicando rapidamente o que foi feito: para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes procura-se e^{rt}, substitui-se e resolve-se a equação polinomial em r; as raízes geram as exponenciais da solução.

Passo 5

Agora precisamos de uma solução particular x_{p}(t) para a parte não homogênea e^{t}+e^{-t}. Observação importante sobre método dos coeficientes indeterminados: quando o termo do lado direito é uma solução da homogênea (aqui e^{t} e e^{-t} são soluções da homogênea), multiplicamos por t para tentar uma forma particular. Assim tentamos
x_{p}(t)=a\,t\,e^{t}+b\,t\,e^{-t},
com constantes a,b a determinar.

Passo 6

Calculamos x_{p}' e x_{p}''. Primeiro
x_{p}'(t)=a(1+t)e^{t}+b(1-t)e^{-t}.
Derivando novamente,
x_{p}''(t)=a(2+t)e^{t}+b(t-2)e^{-t}.
Agora substituímos em \,x''-x=e^{t}+e^{-t}:
x_{p}''-x_{p}= \bigl[ a(2+t)e^{t}+b(t-2)e^{-t}\bigr]-\bigl[a t e^{t}+b t e^{-t}\bigr] =2a\,e^{t}-2b\,e^{-t}.
Igualando ao lado direito e^{t}+e^{-t} obtemos o sistema para a,b:
2a=1,\qquad -2b=1.
Logo
a=\tfrac{1}{2},\qquad b=-\tfrac{1}{2}.

Passo 7

A solução particular encontrada é
x_{p}(t)=\tfrac{1}{2}t e^{t}-\tfrac{1}{2}t e^{-t}=\tfrac{t}{2}\bigl(e^{t}-e^{-t}\bigr).
A solução geral para x(t) é soma da homogênea com a particular:
x(t)=C_{1}e^{t}+C_{2}e^{-t}+\tfrac{t}{2}\bigl(e^{t}-e^{-t}\bigr).

Passo 8

Agora obtemos y(t) usando a relação x'(t)=y(t)+e^{t}, isto é
y(t)=x'(t)-e^{t}.
Calculamos x'(t). Derivando a expressão de x(t):
x'(t)=C_{1}e^{t}-C_{2}e^{-t}+\tfrac{1}{2}(1+t)e^{t}+\tfrac{1}{2}(t-1)e^{-t}.
Subtraindo e^{t} obtemos
y(t)=\bigl(C_{1}-\tfrac{1}{2}+\tfrac{t}{2}\bigr)e^{t}+\bigl(-C_{2}+\tfrac{t}{2}-\tfrac{1}{2}\bigr)e^{-t}.
É conveniente escrever de forma mais clara (colocando fator 1/2 quando útil), mas vamos aplicar as condições iniciais primeiro.

Passo 9

Aplicamos a condição inicial [\vec{s}(0)=(1,0)).
Calcule x(0):
x(0)=C_{1}+C_{2}+\tfrac{0}{2}\bigl(e^{0}-e^{0}\bigr)=C_{1}+C_{2}=1.
Calcule y(0). Usando a expressão de y(t) em t=0:
y(0)=\bigl(C_{1}-\tfrac{1}{2}\bigr)e^{0}+\bigl(-C_{2}-\tfrac{1}{2}\bigr)e^{0}=C_{1}-C_{2}-1.
Como y(0)=0, segue
C_{1}-C_{2}-1=0\quad\Rightarrow\quad C_{1}-C_{2}=1.
Resolvendo o sistema
\begin{cases} C_{1}+C_{2}=1,\\[4pt] C_{1}-C_{2}=1, \end{cases}
somando as equações dá 2C_{1}=2\] então \(C_{1}=1. Substituindo em C_{1}+C_{2}=1 obtém-se C_{2}=0.]

Passo 10

Substituindo C_{1}=1 e C_{2}=0 nas fórmulas finais:
Para x(t):
x(t)=e^{t}+0\cdot e^{-t}+\tfrac{t}{2}\bigl(e^{t}-e^{-t}\bigr) = e^{t}+\tfrac{t}{2}\bigl(e^{t}-e^{-t}\bigr).
Para y(t) (usar a forma direta obtida ou calcular y=x'-e^{t} com os C já conhecidos). Substituindo dá
y(t)=\tfrac{1}{2}\bigl(1+t\bigr)e^{t}+\tfrac{1}{2}\bigl(t-1\bigr)e^{-t}.
Podemos deixar \vec{s}(t) escrito como par ordenado:
\vec{s}(t)=\bigl(x(t),y(t)\bigr)=\left(e^{t}+\tfrac{t}{2}\bigl(e^{t}-e^{-t}\bigr),\;\tfrac{1}{2}(1+t)e^{t}+\tfrac{1}{2}(t-1)e^{-t}\right).
Breve verificação mental: em t=0 obtemos x(0)=1 e y(0)=0, como exigido. Além disso, derivando essas expressões recupera-se \vec{v}(t)=\bigl(y+e^{t},x+e^{-t}\bigr), então a solução é consistente.

Resposta

\displaystyle \vec{s}(t)=\biggl(e^{t}+\tfrac{t}{2}\bigl(e^{t}-e^{-t}\bigr),\;\tfrac{1}{2}(1+t)e^{t}+\tfrac{1}{2}(t-1)e^{-t}\biggr)

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