Questão 04) Encontre o Fator de Integração da E.D.O
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial na forma
com:
O que pede: encontrar um fator de integração
(função que pode depender só de
ou só de
, por exemplo) tal que ao multiplicar a equação por
ela se torne exata.
Passo 2
Explicando o que é exatidão (aula rápida): uma equação
é exata se existe uma função
tal que
. Uma condição prática necessária e suficiente (quando
têm derivadas parciais contínuas) é:
Vamos calcular essas derivadas parciais para ver se a equação já é exata.
Calcule:
Como
(especificamente, a diferença contém termos em
), a equação não é exata originalmente.
Passo 3
Agora a técnica do fator de integração (aula didática): procuramos um
tal que
seja exata. Há procedimentos comuns:
- se existir
(só depende de ), então deve valer
e o lado direito precisa depender apenas de
;
- se existir
(só depende de ), então deve valer
e o lado direito precisa depender apenas de
.
Essas fórmulas vêm de igualar
e
e separar as variáveis. Aqui vamos testar primeiro
— é o caminho mais simples e frequentemente dá certo.
Passo 4
Calcule o quociente que aparece na condição para
:
Observação importante: aqui eu utilizei explicitamente os valores de
e
que calculei no Passo 2, e também usei
. O quociente simplificou para a constante
, que depende somente de
(na verdade é constante). Isso significa que existe um fator de integração que depende apenas de
.
Logo a condição para
fica
Passo 5
Agora resolvemos essa equação para
. Essa é uma equação diferencial simples para
:
Integrando em relação a
:
onde
é constante. Exponenciando,
Constantes multiplicativas não alteram a exatidão útil do fator, então podemos escolher
sem perda de generalidade. Assim tomamos
Passo 6
Breve verificação (opcional, mas bom para confiança): multiplicando
e
por
vamos obter funções
e
. Pela construção, deve-se ter
; isso confirma que
é um fator de integração.