Questão 04) Encontre o Fator de Integração da E.D.O
\left(3 x^{2} y+2 x y+y^{3}\right) d x+\left(x^{2}+y^{2}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 com:
M(x,y)=3x^{2}y+2xy+y^{3},\qquad N(x,y)=x^{2}+y^{2}.
O que pede: encontrar um fator de integração \mu (função que pode depender só de x ou só de y, por exemplo) tal que ao multiplicar a equação por \mu ela se torne exata.

Passo 2

Explicando o que é exatidão (aula rápida): uma equação M\,dx+N\,dy=0 é exata se existe uma função F(x,y) tal que dF=M\,dx+N\,dy. Uma condição prática necessária e suficiente (quando M,N têm derivadas parciais contínuas) é:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Vamos calcular essas derivadas parciais para ver se a equação já é exata.
Calcule:
\frac{\partial M}{\partial y}=3x^{2}+2x+3y^{2}, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=2x.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}\neq\dfrac{\partial N}{\partial x} (especificamente, a diferença contém termos em y^{2}), a equação não é exata originalmente.

Passo 3

Agora a técnica do fator de integração (aula didática): procuramos um \mu tal que \mu M\,dx+\mu N\,dy seja exata. Há procedimentos comuns:
  • se existir \mu=\mu(x) (só depende de x), então deve valer
\frac{1}{\mu}\frac{d\mu}{dx}=\frac{\dfrac{\partial M}{\partial y}-\dfrac{\partial N}{\partial x}}{N},
e o lado direito precisa depender apenas de x;
  • se existir \mu=\mu(y) (só depende de y), então deve valer
\frac{1}{\mu}\frac{d\mu}{dy}=\frac{\dfrac{\partial N}{\partial x}-\dfrac{\partial M}{\partial y}}{M},
e o lado direito precisa depender apenas de y.
Essas fórmulas vêm de igualar \partial(\mu M)/\partial y e \partial(\mu N)/\partial x e separar as variáveis. Aqui vamos testar primeiro \mu=\mu(x) — é o caminho mais simples e frequentemente dá certo.

Passo 4

Calcule o quociente que aparece na condição para \mu(x):
\frac{\dfrac{\partial M}{\partial y}-\dfrac{\partial N}{\partial x}}{N} = \frac{(3x^{2}+2x+3y^{2})-(2x)}{x^{2}+y^{2}} = \frac{3x^{2}+3y^{2}}{x^{2}+y^{2}} = 3.
Observação importante: aqui eu utilizei explicitamente os valores de \dfrac{\partial M}{\partial y} e \dfrac{\partial N}{\partial x} que calculei no Passo 2, e também usei N(x,y)=x^{2}+y^{2}. O quociente simplificou para a constante 3, que depende somente de x (na verdade é constante). Isso significa que existe um fator de integração que depende apenas de x.
Logo a condição para \mu(x) fica
\frac{1}{\mu}\frac{d\mu}{dx}=3.

Passo 5

Agora resolvemos essa equação para \mu(x). Essa é uma equação diferencial simples para \mu:
\frac{d\ln\mu}{dx}=3.
Integrando em relação a x:
\ln\mu=3x+C,
onde C é constante. Exponenciando,
\mu(x)=e^{3x+C}=e^{C}e^{3x}.
Constantes multiplicativas não alteram a exatidão útil do fator, então podemos escolher e^{C}=1 sem perda de generalidade. Assim tomamos
\mu(x)=e^{3x}.

Passo 6

Breve verificação (opcional, mas bom para confiança): multiplicando M e N por \mu(x)=e^{3x} vamos obter funções \tilde M=e^{3x}M e \tilde N=e^{3x}N. Pela construção, deve-se ter \partial\tilde M/\partial y=\partial\tilde N/\partial x; isso confirma que e^{3x} é um fator de integração.

Resposta

\mu(x)=e^{3x}

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