1. Determine o versor do vetor resultante da soma \vec{w}=\vec{u}+\vec{v}, onde \vec{u}=(1,2,-2) e \vec{v}=(3,0,5).

Passo 1

O enunciado pede: determinar o versor (ou vetor unitário) do vetor resultante da soma \vec{w}=\vec{u}+\vec{v}.
As informações dadas são:
  • \vec{u}=(1,2,-2)
  • \vec{v}=(3,0,5)
Portanto a tarefa é: somar \vec{u} e \vec{v} para obter \vec{w}, depois normalizar \vec{w} (isto é, dividir \vec{w} pelo seu módulo) para obter o versor \widehat{\vec{w}}.

Passo 2

Como somar vetores em coordenadas: a soma é feita componente a componente. Se \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3), então
\vec{u}+\vec{v}=(u_1+v_1,\;u_2+v_2,\;u_3+v_3).
Aplicando aos valores fornecidos:
\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}=(1+3,\;2+0,\;-2+5).
Calculando as somas:
\vec{w}=(4,\;2,\;3).

Passo 3

O módulo (comprimento) de um vetor \vec{w}=(w_1,w_2,w_3) é dado pela fórmula
\|\vec{w}\|=\sqrt{w_1^{2}+w_2^{2}+w_3^{2}}.
Para \vec{w}=(4,2,3) temos:
\|\vec{w}\|=\sqrt{4^{2}+2^{2}+3^{2}}=\sqrt{16+4+9}=\sqrt{29}.

Passo 4

Definição de versor (vetor unitário): o versor de um vetor \vec{w} é o vetor na mesma direção de \vec{w} com módulo 1. Calcula-se dividindo \vec{w} pelo seu módulo:
\widehat{\vec{w}}=\frac{\vec{w}}{\|\vec{w}\|}.
Substituindo \vec{w}=(4,2,3) e \|\vec{w}\|=\sqrt{29}:
\widehat{\vec{w}}=\left(\frac{4}{\sqrt{29}},\;\frac{2}{\sqrt{29}},\;\frac{3}{\sqrt{29}}\right).

Passo 5

Verificação rápida (opcional, mas boa prática): checar que o módulo do versor é 1. Calcular o quadrado do módulo:
\left(\frac{4}{\sqrt{29}}\right)^{2}+\left(\frac{2}{\sqrt{29}}\right)^{2}+\left(\frac{3}{\sqrt{29}}\right)^{2}=\frac{16+4+9}{29}=\frac{29}{29}=1.
Portanto o vetor encontrado tem módulo 1 e é realmente o versor de \vec{w}.

Resposta

\displaystyle \widehat{\vec{w}}=\left(\frac{4}{\sqrt{29}},\;\frac{2}{\sqrt{29}},\;\frac{3}{\sqrt{29}}\right)

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