1. Dados os vetores \vec{u}=(2,-1,3) e \vec{v}=(0,4,-2), determine o vetor \vec{w} tal que:
\vec{w}=3 \vec{u}-\frac{1}{2} \vec{v}
Calcule o módulo |\vec{w}|.

Passo 1

O enunciado dá os vetores e pede duas coisas. Informações fornecidas:
  • \vec{u}=(2,-1,3).
  • \vec{v}=(0,4,-2).
Perguntas:
  1. Determinar \vec{w} tal que \vec{w}=3\vec{u}-\dfrac{1}{2}\vec{v}.
  2. Calcular o módulo |\vec{w}|.

Passo 2

Definição e cálculo de 3\vec{u}.
Multiplicar um vetor por um escalar significa multiplicar cada componente pelo escalar. Ou seja, se \vec{u}=(u_x,u_y,u_z) então c\vec{u}=(c u_x, c u_y, c u_z). Aplicando:
3\vec{u}=3\cdot(2,-1,3).
Calcule componente a componente:
3\cdot2=6,\qquad 3\cdot(-1)=-3,\qquad 3\cdot3=9.
Portanto
3\vec{u}=(6,-3,9).

Passo 3

Definição e cálculo de -\dfrac{1}{2}\vec{v}.
Novamente multiplicação componente a componente:
-\dfrac{1}{2}\vec{v}=-\dfrac{1}{2}\cdot(0,4,-2).
Calcule cada componente:
-\dfrac{1}{2}\cdot 0=0,\qquad -\dfrac{1}{2}\cdot 4=-2,\qquad -\dfrac{1}{2}\cdot(-2)=1.
Portanto
-\dfrac{1}{2}\vec{v}=(0,-2,1).
(Observe que os números das componentes foram retirados diretamente de \vec{v}.)

Passo 4

Soma de vetores e obtenção de \vec{w}.
A adição de vetores é feita componente a componente: se \vec{a}=(a_x,a_y,a_z) e \vec{b}=(b_x,b_y,b_z) então \vec{a}+\vec{b}=(a_x+b_x,a_y+b_y,a_z+b_z). Usando os resultados anteriores:
\vec{w}=3\vec{u}-\dfrac{1}{2}\vec{v}=(6,-3,9)+(0,-2,1).
Some componente a componente:
w_x=6+0=6,\qquad w_y=-3+(-2)=-5,\qquad w_z=9+1=10.
Logo
\vec{w}=(6,-5,10).

Passo 5

Fórmula do módulo de um vetor em \mathbb{R}^3 e cálculo.
Para \vec{w}=(w_x,w_y,w_z) o módulo é dado por
|\vec{w}|=\sqrt{w_x^2+w_y^2+w_z^2},
onde w_x,w_y,w_z são as componentes de \vec{w}. Aqui w_x=6, w_y=-5, w_z=10. Então
|\vec{w}|=\sqrt{6^2+(-5)^2+10^2}.
Calcule os quadrados e some:
6^2=36,\qquad (-5)^2=25,\qquad 10^2=100,
36+25+100=161.
Portanto
|\vec{w}|=\sqrt{161}.
Como verificação rápida de ordem de grandeza: \sqrt{144}=12 e \sqrt{169}=13, logo 12<\sqrt{161}<13. Aproximação numérica:
|\vec{w}|\approx12{,}6886.

Resposta

\vec{w}=(6,-5,10)
|\vec{w}|=\sqrt{161}\approx12{,}6886

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