Determine o versor do vetor \vec{a}=2 \vec{\imath}-\vec{\jmath}-2 \vec{k}.
(a) -\frac{2}{3} \vec{\imath}+\frac{1}{3} \vec{\jmath}+\frac{2}{3} \vec{k}
(b) \left\langle\frac{2}{\sqrt{5}},-\frac{1}{\sqrt{5}},-\frac{2}{\sqrt{5}}\right\rangle
(c) \frac{2}{\sqrt{5}} \vec{\imath}+\frac{1}{\sqrt{5}} \vec{\jmath}+\frac{2}{\sqrt{5}} \vec{k}
(d) \left\langle\frac{2}{3},-\frac{1}{3},-\frac{2}{3}\right\rangle
(e) \frac{1}{2} \vec{\imath}-\vec{\jmath}-\frac{1}{2} \vec{k}

Passo 1

O enunciado pede o versor (vetor unitário) do vetor \vec{a}=2\vec{\imath}-\vec{\jmath}-2\vec{k}.
Informações dadas que vamos usar: as componentes de \vec{a} são (2,\,-1,\,-2).
A tarefa é encontrar o vetor com mesma direção de \vec{a} e módulo 1. As alternativas (a) a (e) estão disponíveis para escolha.

Passo 2

O que é um versor e como achá-lo (aula curta e prática):
Um versor (ou vetor unitário) na direção de um vetor \vec{v} é o vetor \hat{u} que tem a mesma direção de \vec{v} e módulo 1. A fórmula padrão é
\hat{u}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|},
onde \|\vec{v}\| é o módulo (norma) de \vec{v}.
Explicando \|\vec{v}\|: se \vec{v}=(v_x,v_y,v_z), então
\|\vec{v}\|=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}+v_z^{2}}.
Ou seja, soma dos quadrados das componentes e depois raiz quadrada — é a extensão 3D do teorema de Pitágoras. Na prova: identifique as componentes, calcule a norma com essa fórmula, e divida cada componente pela norma.

Passo 3

Calcular a norma de \vec{a}. Usando as componentes 2, -1 e -2:
\|\vec{a}\|=\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}.
Agora calcule cada termo:
2^{2}=4,\quad (-1)^{2}=1,\quad (-2)^{2}=4.
Somando:
4+1+4=9.
Logo
\|\vec{a}\|=\sqrt{9}=3.
(Até aqui: pegue as componentes, eleve ao quadrado, some e tire raiz — procedimento mecânico.)

Passo 4

Aplicar a fórmula do versor: dividir cada componente de \vec{a} pela norma 3. Assim,
\hat{a}=\frac{\vec{a}}{\|\vec{a}\|}=\frac{1}{3}\,(2,\,-1,\,-2).
Fazendo a divisão componente a componente:
\hat{a}=\left(\frac{2}{3},\;-\frac{1}{3},\;-\frac{2}{3}\right).
Em notação vetorial com colchetes angulares:
\hat{a}=\left\langle\frac{2}{3},-\frac{1}{3},-\frac{2}{3}\right\rangle.

Passo 5

Verificação rápida (sempre bom na prova): conferir que o vetor obtido tem módulo 1. Calcule
\left\|\hat{a}\right\|=\sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)^{2}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}}
=\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{1}{9}+\frac{4}{9}}=\sqrt{\frac{9}{9}}=\sqrt{1}=1.
Perfeito — é um versor. Agora, olhando as alternativas, a que coincide é a letra (d).

Resposta

(d) \left\langle\frac{2}{3},-\frac{1}{3},-\frac{2}{3}\right\rangle

Exercícios relacionados