A viscosidade de um fluido será determinada com o uso de um viscosímetro de placas paralelas. A área das placas é de 10 \times 15 \mathrm{~cm}, e a separação estre as placas é de 10 cm . Uma força de 0,0009 \mathrm{~N} move a placa superior a uma velocidade de 1,6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Calcule as viscosidades.
Dado: Peso especifico do fluido =312 \mathrm{kgf} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule as viscosidades do fluido usando um viscosímetro de placas paralelas. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
\text{Área das placas: }A = 10\times15\\ \mathrm{cm} \quad(\text{o enunciado})Á
\text{Separação entre as placas: }d = 10\\ \mathrm{cm} \quad(\text{o enunciado})çã
\text{Força aplicada: }F = 0,0009\\ \mathrm{N} \quad(\text{o enunciado})ç
\text{Velocidade da placa superior: }v = 1,6\\ \mathrm{m/s} \quad(\text{o enunciado})
\text{Peso específico do fluido: } \gamma = 312\\ \mathrm{kgf/m}^3 \quad(\text{o enunciado})í
As perguntas implícitas (que vou responder): calcular a viscosidade dinâmica (viscosidade absoluta) e a viscosidade cinemática do fluido.

Passo 2

Explicação da teoria que vamos usar (passo-a-passo, sem pular etapas).
  1. Definição de tensão de cisalhamento (shear stress): quando uma força F é aplicada sobre uma área A e tende a deslizar uma placa sobre a outra, a tensão de cisalhamento é
\tau = \frac{F}{A}.
Aqui \tau tem unidade \mathrm{N/m}^2 (Pa).
  1. Definição de taxa de deformação por cisalhamento (shear rate): para placas paralelas separadas por distância d e com velocidade relativa v, a taxa de deformação (assumindo perfil linear de velocidade no gap) é
\dot{\gamma} = \frac{v}{d}.
Unidade de \dot{\gamma} é \mathrm{s}^{-1}.
  1. Definição de viscosidade dinâmica (viscosidade absoluta) para um fluido newtoniano:
\eta = \frac{\tau}{\dot{\gamma}}.
Unidade: \mathrm{Pa\cdot s} = \mathrm{N\cdot s/m}^2.
  1. Viscosidade cinemática \nu é dada por
\nu = \frac{\eta}{\rho},
onde \rho é a densidade de massa do fluido (unidade \mathrm{kg/m}^3). Unidade de \nu é \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
Observação sobre o dado do enunciado: foi dado o “peso específico” \gamma = 312\\ \mathrm{kgf/m}^3. Para encontrar a densidade \rho (em \mathrm{kg/m}^3) usamos que \gamma = \rho g. Se \gamma está em \mathrm{kgf/m}^3, convertendo para N/m^3 e dividindo por g (ou simplesmente percebendo a cancelação) obtemos numericamente
\rho = 312\\ \mathrm{kg/m}^3.
Vou mostrar a conta em detalhe mais adiante.

Passo 3

Converter todas as grandezas para unidades SI (m, m^2, m/s, N):
A = 10\\ \mathrm{cm}\times15\\ \mathrm{cm} = 0,10\\ \mathrm{m}\times0,15\\ \mathrm{m} = 0,015\\ \mathrm{m}^2.
d = 10\\ \mathrm{cm} = 0,10\\ \mathrm{m}.
Os outros dados já estão em SI: F = 0,0009\\ \mathrm{N} e v = 1,6\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Calcular a tensão de cisalhamento \tau usando \tau = F/A.
\tau = \frac{F}{A} = \frac{0,0009}{0,015}\\ \mathrm{N/m}^2.
Agora a divisão:
\frac{0,0009}{0,015} = \frac{9\times10^{-4}}{1,5\times10^{-2}} = \frac{9}{1,5}\times10^{-4+2} = 6\times10^{-2}.
Logo
\tau = 0,06\\ \mathrm{Pa}.
Explicação rápida do cálculo: dividi numerador e denominador em potências de dez para facilitar o cálculo manual e depois simplifiquei 9/1,5 = 6.

Passo 5

Calcular a taxa de deformação \dot{\gamma} = v/d.
\dot{\gamma} = \frac{v}{d} = \frac{1,6}{0,10}\\ \mathrm{s}^{-1} = 16\\ \mathrm{s}^{-1}.
Interpretação: isso significa que o perfil de velocidade varia 16 metros por segundo por metro de distância — uma forma de dizer a rapidez com que camadas adjacentes deslizam.

Passo 6

Calcular a viscosidade dinâmica \eta usando \eta = \tau/\dot{\gamma}.
\eta = \frac{\tau}{\dot{\gamma}} = \frac{0,06}{16}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Fazendo a divisão:
\frac{0,06}{16} = 0,00375.
Portanto
\eta = 0,00375\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Comentário físico: \eta relata quanto “resiste” o fluido ao cisalhamento; 0,00375 Pa·s é um valor maior que a água a 20 °C (≈0,001 Pa·s), então é um fluido um pouco mais viscoso que água.

Passo 7

Transformar o dado “peso específico” em densidade \rho para calcular a viscosidade cinemática.
O peso específico é \gamma = \rho g. O enunciado deu \gamma = 312\\ \mathrm{kgf/m}^3. Convertendo para unidades SI explicitamente:
\gamma_{\text{(N/m}^3)} = 312\\ \mathrm{kgf/m}^3 \times 9{,}80665\\ \mathrm{N/kgf} = 312\times9{,}80665\\ \mathrm{N/m}^3 \approx 3059\\ \mathrm{N/m}^3.
Agora \rho = \gamma_{\text{(N/m}^3)}/g. Como dividimos por g (aprox. 9{,}80665\\ \mathrm{m/s}^2), numericamente:
\rho = \frac{3059}{9{,}80665}\\ \mathrm{kg/m}^3 \approx 312\\ \mathrm{kg/m}^3.
Observação prática: quando o peso específico foi dado em \mathrm{kgf/m}^3, o valor numérico coincide com a densidade em \mathrm{kg/m}^3 (pois o fator g ao converter \mathrm{kgf} para N cancela ao dividir por g). Então vou usar
\rho = 312\\ \mathrm{kg/m}^3.

Passo 8

Calcular a viscosidade cinemática \nu = \eta/\rho.
\nu = \frac{\eta}{\rho} = \frac{0,00375}{312}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
Fazendo a divisão manual (dividindo por 300 depois ajustando ou usando divisão direta):
\frac{0,00375}{312} \approx 0,00001202\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
Em notação científica isso é aproximadamente
\nu \approx 1,20\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.

Passo 9

Pequena verificação de ordem de grandeza e interpretação: \eta=0,00375\\ \mathrm{Pa\cdot s} e \nu\approx1,2\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}. Para referência, água à temperatura ambiente tem \eta\approx0,001\\ \mathrm{Pa\cdot s} e \nu\approx10^{-6}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s} (dependendo da densidade). Nosso fluido é mais viscoso do que água (dinamicamente) e sua densidade é menor que a da água ( 312\\ \mathrm{kg/m}^3 contra ≈ 1000\\ \mathrm{kg/m}^3), por isso a viscosidade cinemática resultante está na faixa de 10^{-5}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.

Resposta

\eta = 0,00375\\ \mathrm{Pa\cdot s}
\nu = 1,20\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}

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