Qual o ponto inicial do segmento orientado que representa o vetor \vec{v}=\langle-2,0,1\rangle, sabendo que sua outra extremidade está em ( 2,4,-1 ).
(a) (0,4,0)
(b) (-4,-4,2)
(c) (0,-4,0)
(d) (4,4,-2)
(e) (2,4,1)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem direta:
  • Vetor dado: \vec{v}=\langle -2,0,1\rangle.
  • Uma extremidade (ponto final) do segmento orientado está em (2,4,-1).
  • Pergunta: qual é o ponto inicial (a outra extremidade) do segmento orientado que representa \vec{v}?
  • Alternativas dadas:
    (a) (0,4,0)
    (b) (-4,-4,2)
    (c) (0,-4,0)
    (d) (4,4,-2)
    (e) (2,4,1)

Passo 2

Conceito essencial (explicado devagar): um vetor posicional entre dois pontos P (inicial) e Q (final) tem, por definição, componentes obtidas subtraindo coordenadas de P das de Q. Em símbolos:
\vec{v}= \overrightarrow{PQ} = Q - P,
onde, se P=(x_P,y_P,z_P) e Q=(x_Q,y_Q,z_Q), então
\vec{v} = \langle x_Q-x_P,\; y_Q-y_P,\; z_Q-z_P\rangle.
Aqui cada componente de \vec{v} é a diferença entre a coordenada correspondente do ponto final e a do ponto inicial.

Passo 3

A partir da fórmula acima, queremos encontrar P sabendo \vec{v} e Q. Reescrevendo a relação para P:
P = Q - \vec{v}.
Em coordenadas isso significa:
(x_P,y_P,z_P) = (x_Q - v_x,\; y_Q - v_y,\; z_Q - v_z).
Vou explicar cada símbolo: x_Q,y_Q,z_Q são as coordenadas do ponto final Q; v_x,v_y,v_z são as componentes do vetor \vec{v}; x_P,y_P,z_P são as coordenadas que queremos achar.

Passo 4

Agora aplicamos com os valores do enunciado:
  • Q=(2,4,-1), então x_Q=2, y_Q=4, z_Q=-1.
  • \vec{v}=\langle -2,0,1\rangle, então v_x=-2, v_y=0, v_z=1.
Usando P = Q - \vec{v}, temos (vou calcular coordenada por coordenada).

Passo 5

Cálculo das coordenadas de P:
x_P = x_Q - v_x = 2 - (-2) = 2 + 2 = 4,
y_P = y_Q - v_y = 4 - 0 = 4,
z_P = z_Q - v_z = -1 - 1 = -2.
Portanto o ponto inicial é P=(4,4,-2).

Passo 6

Verificação rápida (pra ter certeza que não fizemos conta errada): calcule \overrightarrow{PQ}=Q-P:
Q-P = (2,4,-1)-(4,4,-2)=\langle 2-4,\;4-4,\;-1-(-2)\rangle=\langle -2,0,1\rangle,
que é exatamente \vec{v}. Então está correto.

Passo 7

Comparando com as alternativas fornecidas, a coordenada (4,4,-2) corresponde à alternativa (d). Boa! Você conseguiu — respira, tá indo bem.

Resposta

(d) (4,4,-2)

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