Qual o ponto inicial do segmento orientado que representa o vetor \vec{v}=\langle-2,0,1\rangle, sabendo que sua outra extremidade está em ( 2,4,-1 ).
(a) (0,4,0)
(b) (-4,-4,2)
(c) (0,-4,0)
(d) (4,4,-2)
(e) (2,4,1)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem direta:
Vetor dado: \vec{v}=\langle -2,0,1\rangle.
Uma extremidade (ponto final) do segmento orientado está em (2,4,-1).
Pergunta: qual é o ponto inicial (a outra extremidade) do segmento orientado que representa \vec{v}?
Conceito essencial (explicado devagar): um vetor posicional entre dois pontos P (inicial) e Q (final) tem, por definição, componentes obtidas subtraindo coordenadas de P das de Q. Em símbolos:
Vou explicar cada símbolo: x_Q,y_Q,z_Q são as coordenadas do ponto final Q; v_x,v_y,v_z são as componentes do vetor \vec{v}; x_P,y_P,z_P são as coordenadas que queremos achar.
Passo 4
Agora aplicamos com os valores do enunciado:
Q=(2,4,-1), então x_Q=2, y_Q=4, z_Q=-1.
\vec{v}=\langle -2,0,1\rangle, então v_x=-2, v_y=0, v_z=1.
Usando P = Q - \vec{v}, temos (vou calcular coordenada por coordenada).
Passo 5
Cálculo das coordenadas de P:
x_P = x_Q - v_x = 2 - (-2) = 2 + 2 = 4,
y_P = y_Q - v_y = 4 - 0 = 4,
z_P = z_Q - v_z = -1 - 1 = -2.
Portanto o ponto inicial é P=(4,4,-2).
Passo 6
Verificação rápida (pra ter certeza que não fizemos conta errada): calcule \overrightarrow{PQ}=Q-P: