Determine o vértice, o eixo e a direção de abertura da parábola dada.
(h) x^{2}-3 x-3 y+1=0

Passo 1

O enunciado pede para achar o vértice, o eixo de simetria e a direção de abertura da parábola dada por
x^{2}-3x-3y+1=0.
Aqui estamos trabalhando com parábolas (seção cônica), e vamos usar completamento de quadrado para reescrever a equação no formato padrão

Passo 2

Isolando y, temos
x^{2}-3x+1=3y \quad\Longrightarrow\quad y=\frac{1}{3}x^{2}-x+\frac{1}{3}.

Passo 3

Para completar o quadrado no termo em x, escrevemos
y =\frac{1}{3}\Bigl(x^{2}-3x\Bigr)+\frac{1}{3} =\frac{1}{3}\Bigl(x^{2}-3x+\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}\Bigr) -\frac{1}{3}\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^{2} +\frac{1}{3}.
Como \bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}=\tfrac{9}{4}, fica
y =\frac{1}{3}\bigl(x-\tfrac{3}{2}\bigr)^{2} -\frac{1}{3}\cdot\frac{9}{4} +\frac{1}{3} =\frac{1}{3}\bigl(x-\tfrac{3}{2}\bigr)^{2} -\frac{5}{12}.

Passo 4

Na forma
y =\frac{1}{3}\bigl(x-\tfrac{3}{2}\bigr)^{2} -\frac{5}{12},
vemos que o vértice é
\Bigl(\tfrac{3}{2},\,-\tfrac{5}{12}\Bigr).

Passo 5

Como a variável x aparece dentro do quadrado, o eixo de simetria é a reta vertical que passa pelo vértice, ou seja
x=\frac{3}{2},
e, como o coeficiente de \bigl(x-\tfrac{3}{2}\bigr)^{2} é positivo \bigl(\tfrac{1}{3}>0\bigr), a parábola abre para cima.

Resposta

Vértice: \bigl(\tfrac{3}{2},\,-\tfrac{5}{12}\bigr)
Eixo de simetria: x=\tfrac{3}{2}
Direção de abertura: para cima

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