Determine os valores de
, de modo que a interseção do plano
com o hiperbolóide de duas folhas
seja:
(a) uma elipse
(a) uma elipse
Passo 1
O enunciado pede os valores de
para que a curva de interseção do plano
com o hiperbolóide de duas folhas
seja uma elipse.
Conteúdo: interseção de quádricas, redução a uma cônica no plano e classificação pela condição do discriminante e da existência de pontos reais.
Conteúdo: interseção de quádricas, redução a uma cônica no plano
Passo 2
Substituímos a expressão de
do plano na equação do hiperbolóide. De
vem
Inserindo em
obtemos
Expandindo e rearranjando, chega-se à cônica no plano
:
Passo 3
Para classificar o tipo de cônica, comparamos os coeficientes
O discriminante é
Uma elipse exige
e
e
terem o mesmo sinal. Logo
Passo 4
Só faz sentido falar em elipse se houver pontos reais na interseção. Da equação
podemos isolar
Para existir algum
precisa haver
tal que o lado direito seja
.
Como quando
, essa expressão é um quadrático côncavo para
, com valor máximo
Como
Para que esse máximo seja não-negativo, precisamos
Combinando com
, obtemos
Resposta
Os valores de
que fazem a interseção ser uma elipse são