Determine os valores de k, de modo que a interseção do plano x+k y=1 com o hiperbolóide de duas folhas y^2-x^2-z^2=1 seja:
(a) uma elipse

Passo 1

O enunciado pede os valores de k para que a curva de interseção do plano
x + k,y = 1
com o hiperbolóide de duas folhas
y^2 - x^2 - z^2 = 1
seja uma elipse.
Conteúdo: interseção de quádricas, redução a uma cônica no plano (y,z) e classificação pela condição do discriminante e da existência de pontos reais.

Passo 2

Substituímos a expressão de x do plano na equação do hiperbolóide. De
x + k,y = 1
vem
x = 1 - k,y
Inserindo em
y^2 - x^2 - z^2 = 1
obtemos
y^2 - l(1 - k,yr)^2 - z^2 = 1
Expandindo e rearranjando, chega-se à cônica no plano (y,z):
(1 - k^2),y^2 + 2k,y ;-, z^2 ;-, 2 ;=; 0

Passo 3

Para classificar o tipo de cônica, comparamos os coeficientes
A = 1 - k^2, B = 0, C = -1
O discriminante é
De<a = B^2 - 4,A,C = -4,A,C
Uma elipse exige De<a<0 e A e C terem o mesmo sinal. Logo
A,C > 0 Long<=ftrightarrow (1 - k^2)cdot(-1) > 0 Long<=ftrightarrow k^2 > 1 Long<=ftrightarrow lvert krvert > 1

Passo 4

Só faz sentido falar em elipse se houver pontos reais na interseção. Da equação
(1 - k^2),y^2 + 2k,y - z^2 - 2 = 0
podemos isolar
z^2 = (1 - k^2),y^2 + 2k,y - 2
Para existir algum zinR precisa haver y tal que o lado direito seja >=0.
Como 1 - k^2<0 quando lvert krvert>1, essa expressão é um quadrático côncavo para y, com valor máximo
maxy l[(1 - k^2),y^2 + 2k,y - 2r] = k^2-21 - k^2
Para que esse máximo seja não-negativo, precisamos
k^2-21 - k^2 ;>=; 0 Long<=ftrightarrow k^2 < 2
Combinando com lvert krvert>1, obtemos
1 < lvert krvert < raiz2

Resposta

Os valores de k que fazem a interseção ser uma elipse são
boxed1 < lvert krvert < raiz2

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