Determine o vértice e as raízes (caso existam) das funções do 2^{\circ} grau abaixo:
f(x)=16 x^{2}-24 x+9

Passo 1

O enunciado fornece a função quadrática f(x)=16x^{2}-24x+9
e pede o vértice e as raízes (se existirem). Para isso, usaremos a fórmula do discriminante \Delta=b^{2}-4ac e a fórmula de Bhaskara para as raízes, além da fórmula do vértice x_{v}=-\tfrac{b}{2a} e y_{v}=f(x_{v}).

Passo 2

Calculamos o discriminante
\Delta = b^{2} - 4ac,
onde a=16, b=-24 e c=9:
\Delta = (-24)^{2} - 4\cdot 16\cdot 9 = 576 - 576 = 0.

Passo 3

Como \Delta=0, há uma única raiz real (raiz dupla) dada por
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-24) \pm 0}{2\cdot16} = \frac{24}{32} = \frac{3}{4}.

Passo 4

O vértice tem abscissa
x_{v} = -\frac{b}{2a} = \frac{3}{4}.
Para a ordenada, calculamos
y_{v} = f\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr) = 16\Bigl(\tfrac{3}{4}\Bigr)^{2} - 24\Bigl(\tfrac{3}{4}\Bigr) + 9 = 9 - 18 + 9 = 0.
Logo, o vértice é \bigl(\tfrac{3}{4},0\bigr).

Resposta

Vértice: \bigl(\tfrac{3}{4},0\bigr)
Raízes: x=\tfrac{3}{4} (raiz dupla)

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