Determine o vértice, a reta diretriz e esboce a parábola de equação 4 x^2-16 x+16=y+1

Passo 1

O enunciado dá a parábola definida pela equação
4x^2 - 16x + 16 = y + 1
e pede o vértice, a reta diretriz e um esboço. O conteúdo principal é a forma canônica de uma parábola e sua propriedade focovga-diretriz.

Passo 2

Isolamos y e completamos o quadrado para colocar em forma canônica:
y = 4x^2 -16x +15 = 4l(x^2 -4xr) +15 = 4l[(x-2)^2 -4r] +15 = 4(x-2)^2 -16 +15 = 4(x-2)^2 -1
Logo,
y + 1 = 4(x-2)^2

Passo 3

Escrevendo em forma padrão
y - (-1) = 4(x-2)^2
vemos que o vértice é
(h,k) = (2,,-1)

Passo 4

Na forma
y - k = 14p(x-h)^2
temos tfrac14p=4, portanto
p = 116
O foco fica em
l(h,;k+pr) = l(2,,-1+tfrac116r)
e a reta diretriz é
y = k - p = -1 - tfrac116 = -tfrac1716

Passo 5

Para esboçar a parábola:
– traçamos o eixo de simetria x=2,
– marcamos o vértice em (2,-1),
– desenhamos a reta diretriz y=-tfrac1716 logo abaixo do vértice,
– e desenhamos a curva abrindo para cima, de modo que cada ponto esteja à mesma distância do foco e da diretriz.

Resposta

Vértice: (2,-1).\nReta diretriz: y=-1716.

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