Julgue as afirmativas em V: verdadeiro ou F: falso, justificando sua resposta:
W=(x, y, x+y) in R^3 ; x, y in R é um subespaço vetorial do R^3 e a dimensão de W é 2 ;

Passo 1

O enunciado define
W=(x,y,x+y)inR^3 mid x,yinR
e pede para verificar se W é subespaço vetorial de R^3 e determinar dim W. Para isso, usaremos a definição de subespaço (não vazio, fechado sob soma e multiplicação escalar) e, em seguida, encontraremos uma base de W.

Passo 2

Mostramos que Wneqemptyset pois (0,0,0)=(0,0,0+0)in W.
Sejam
u=(x1,y1,x1+y1), v=(x2,y2,x2+y2)em W
e lambdainR. Então
u+v=(x1+x2,;y1+y2,;(x1+y1)+(x2+y2))=(x1+x2,;y1+y2,;(x1+x2)+(y1+y2))
pertence a W. De modo análogo,
lambda u=(lambda x1,;lambda y1,;lambda(x1+y1))=(lambda x1,;lambda y1,;lambda x1+lambda y1)
também pertence a W. Logo, W é subespaço vetorial de R^3.

Passo 3

Qualquer vetor de W tem a forma
(x,y,x+y)=x,(1,0,1)+y,(0,1,1),
logo
W=span(1,0,1),(0,1,1)
Os vetores (1,0,1) e (0,1,1) são linearmente independentes, formam uma base de W e, portanto,
dim W=2

Resposta

A primeira afirmativa é Verdadeira.
A segunda afirmativa é Verdadeira.

Exercícios relacionados