Determine o vetor binormal B(t) para cada uma das curvas vetoriais a seguir. Utilize a definição:
B(t)=widehatT(t) times N(t)
r(t)=t i-2 t^2 j+3 t^3 k

Passo 1

O enunciado pede o vetor binormal B(t)=widehat T(t)times N(t) para a curva
r(t)=t, i-2t^2, j+3t^3, k
Para não ter que calcular explicitamente widehat T e N, usaremos a identidade clássica
B(t)= r'(t)times r''(t)l| r'(t)times r''(t)r|,
que é equivalente à definição widehat Ttimes N.

Passo 2

Calcular as derivadas primeira e segunda de r(t):
r'(t)=ddtllang<= t,,-2t^2,,3t^3rrang<= =llang<= 1,,-4t,,9t^2rrang<=,
r''(t)=ddtllang<= 1,,-4t,,9t^2rrang<= =llang<= 0,,-4,,18trrang<=

Passo 3

Calcular o produto vetorial r'(t)times r''(t):
r'(t)times r''(t) = i & j & k 1 & -4t & 9t^2 0 & -4 & 18t =llang<= -36t^2,;-18t,;-4rrang<=

Passo 4

Calcular a norma de r'(t)times r''(t) e obter B(t):
l| r'(t)times r''(t)r| =raiz(-36t^2)^2+(-18t)^2+(-4)^2 =raiz1296,t^4+324,t^2+16
Logo
B(t) =llang<= -36t^2,,-18t,,-4rrang<= raiz1296,t^4+324,t^2+16 =llang<= -18t^2,,-9t,,-2rrang<= raiz324,t^4+81,t^2+4

Resposta

B(t) =lang<= -18t^2,,-9t,,-2rang<=raiz324,t^4+81,t^2+4

Exercícios relacionados