1. (Colônia de bactérias) A população P de uma colônia de bactérias, t dias após ser iniciado um experimento, pode ser modelada pela função cúbica
P(t)=1,035 t^3+103,5 t^2+6900 t+230000
(a) Calcule e interprete a derivada P^prime(t);
(b) A que taxa a população está variando após 1 dia? E após 10 dias?
(c) Qual é a população inicial da colônia? Usando uma calculadora, estime quanto tempo a população levará para dobrar de tamanho. A que taxa a população está variando no momento em que dobra de tamanho?

Passo 1

O enunciado dá a população de bactérias em função do tempo em dias como
P(t)=1,035,t^3+103,5,t^2+6900,t+230000
Aqui o conteúdo é diferenciar polinômio para obter a taxa de variação instantânea, avaliar essa derivada em pontos específicos, interpretar o resultado, determinar a população inicial e resolver numericamente a equação P(t)=2P(0) para achar o tempo de dobramento.

Passo 2

Para encontrar a taxa de variação instantânea usamos a regra de potência em cada termo de P(t). Logo,
P'(t)=ddtl(1,035,t^3r)+ddtl(103,5,t^2r)+ddtl(6900,tr)+ddt(230000)
Aplicando as derivadas:
P'(t)=3cdot1,035,t^2+2cdot103,5,t+6900+0=3,105,t^2+207,t+6900
Interpretamos P'(t) como a taxa de crescimento da população em bactérias por dia no instante t.

Passo 3

Avaliamo-os P'(t) nos instantes pedidos:
- Para t=1:
P'(1)=3,105cdot1^2+207cdot1+6900=3,105+207+6900=7110,105
ou seja, cerca de 7110 bactérias por dia.
- Para t=10:
P'(10)=3,105cdot10^2+207cdot10+6900=3,105cdot100+2070+6900=310,5+2070+6900=9280,5
ou seja, cerca de 9281 bactérias por dia.

Passo 4

A população inicial é P(0):
P(0)=230000
Para dobrar, resolvemos numericamente
P(t)=2cdot230000=460000,
isto é
1,035,t^3+103,5,t^2+6900,t+230000=460000
Usando calculadora, obtemos a solução positiva aproximada
tapprox23,3 dias

Passo 5

Por fim, a taxa de variação no instante em que a população dobra ( tapprox23,3) é
P'(23,3)=3,105cdot(23,3)^2+207cdot23,3+6900approx13409
ou seja, cerca de 1,34times10^4 bactérias por dia naquele momento.

Resposta

(a) P'(t)=3,105,t^2+207,t+6900, que representa a taxa de crescimento da colônia em bactérias por dia.
(b) Após 1 dia a população cresce a 7110 bactérias/dia; após 10 dias a 9281 bactérias/dia (aprox.).
(c) A população inicial é 230000. O tempo para dobrar é cerca de 23,3 dias. No instante do dobro ela cresce a aproximadamente 1,34times10^4 bactérias/dia.

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