- (Colônia de bactérias) A população
de uma colônia de bactérias,
dias após ser iniciado um experimento, pode ser modelada pela função cúbica
(a) Calcule e interprete a derivada
;
(b) A que taxa a população está variando após 1 dia? E após 10 dias?
(c) Qual é a população inicial da colônia? Usando uma calculadora, estime quanto tempo a população levará para dobrar de tamanho. A que taxa a população está variando no momento em que dobra de tamanho?
(b) A que taxa a população está variando após 1 dia? E após 10 dias?
(c) Qual é a população inicial da colônia? Usando uma calculadora, estime quanto tempo a população levará para dobrar de tamanho. A que taxa a população está variando no momento em que dobra de tamanho?
Passo 1
O enunciado dá a população de bactérias em função do tempo em dias como
Aqui o conteúdo é diferenciar polinômio para obter a taxa de variação instantânea, avaliar essa derivada em pontos específicos, interpretar o resultado, determinar a população inicial e resolver numericamente a equação
para achar o tempo de dobramento.
Passo 2
Para encontrar a taxa de variação instantânea usamos a regra de potência em cada termo de
. Logo,
Aplicando as derivadas:
Interpretamos
como a taxa de crescimento da população em bactérias por dia no instante
.
Passo 3
Avaliamo-os
nos instantes pedidos:
- Para
:
ou seja, cerca de
bactérias por dia.
- Para
:
ou seja, cerca de
bactérias por dia.
Passo 4
A população inicial é
:
Para dobrar, resolvemos numericamente
isto é
Usando calculadora, obtemos a solução positiva aproximada
Passo 5
Por fim, a taxa de variação no instante em que a população dobra (
) é
ou seja, cerca de
bactérias por dia naquele momento.
Resposta
(a)
, que representa a taxa de crescimento da colônia em bactérias por dia.
(b) Após dia a população cresce a
bactérias/dia; após
dias a
bactérias/dia (aprox.).
(c) A população inicial é . O tempo para dobrar é cerca de
dias. No instante do dobro ela cresce a aproximadamente
bactérias/dia.
(b) Após
(c) A população inicial é