1. (Sistema cardiovascular) Um modelo do sistema cardiovascular relaciona V(t), o volume de sangue na aorta no instante t durante a sístole (fase de contração), com P(t), a pressão na aorta durante a sístole, por meio da equação
V(t)=[C1+C2 P(t)](3 t^2T^2-2 t^3T^3)
em que C1 e C2 são constantes positivas e T é a duração (constante) da sístole ^1. Obtenha uma relação entre as taxas d Vd t e d Pd t.

Passo 1

O enunciado nos dá
V(t)=l[C1+C2P(t)r]l(3t^2T^2-2t^3T^3r),
onde C1,C2,T são constantes e P(t) é a pressão. Queremos encontrar uma relação entre dVdt e dPdt. Para isso vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia na derivação de V(t).

Passo 2

Definimos
f(t)=C1+C2P(t), g(t)=3t^2T^2-2t^3T^3,
de modo que V(t)=f(t),g(t). Pela regra do produto,
dVdt=f'(t),g(t)+f(t),g'(t)

Passo 3

Calculamos as derivadas necessárias:
f'(t)=C2,dPdt,
g'(t) =ddtl(3t^2T^2-2t^3T^3r) =6tT^2-6t^2T^3

Passo 4

Substituindo em dVdt=f'(t),g(t)+f(t),g'(t), obtemos
dVdt =l(C1+C2P(t)r)l(6tT^2-6t^2T^3r) + C2l(3t^2T^2-2t^3T^3r)dPdt
Se quisermos isolar dPdt, basta reorganizar:
C2l(3t^2T^2-2t^3T^3r)dPdt =dVdt -l(C1+C2P(t)r)l(6tT^2-6t^2T^3r),
dPdt = dVdt -l(C1+C2P(t)r)l(6tT^2-6t^2T^3r) C2l(3t^2T^2-2t^3T^3r)

Resposta

boxed dVdt =l(C1+C2P(t)r)l(6tT^2-6t^2T^3r) + C2l(3t^2T^2-2t^3T^3r)dPdt,
ou, isolando dPdt,
boxed dPdt = dVdt -l(C1+C2P(t)r)l(6tT^2-6t^2T^3r) C2l(3t^2T^2-2t^3T^3r)

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