Determine o vetor binormal B(t) para cada uma das curvas vetoriais a seguir. Utilize a definição:
B(t)=widehatT(t) times N(t)
r(t)=cos t sin t i+sin ^2 t j+cos t k

Passo 1

O enunciado pede o vetor binormal B(t) para a curva
r(t)=cos tsin t,i+sin^2t,j+cos t,k
Sabemos que
B(t)=widehatT(t)timesN(t)
mas é mais prático usar a fórmula equivalente
B(t)=r'(t)timesr''(t)l|r'(t)timesr''(t)r|
Então vamos calcular r', r'', o produto vetorial e normalizar.

Passo 2

Calcular a derivada primeira
r'(t) =l(cos2t,;sin2t,;-,sin tr)
Isso vem de
ddt(cos tsin t)=cos^2t-sin^2t=cos2t, ddt(sin^2t)=2sin tcos t=sin2t, ddt(cos t)=-sin t

Passo 3

Calcular a derivada segunda
r''(t) =l(-2sin2t,;2cos2t,;-,cos tr)
Aqui derivamos componente a componente de r'(t).

Passo 4

Formar o produto vetorial
r'(t)timesr''(t) = i&j&k cos2t&sin2t&-,sin t -2sin2t&2cos2t&-,cos t
que, desenvolvendo, dá
l(-2sin^3t,;cos t,(1+2sin^2t),;2r)

Passo 5

Calcular a norma do produto vetorial
l|r'timesr''r| =raiz(-2sin^3t)^2+l(cos t,(1+2sin^2t)r)^2+2^2 =raiz5+3sin^2t

Passo 6

Obter o binormal normalizado
B(t) =r'(t)timesr''(t)|r'(t)timesr''(t)| =l(-2sin^3t,;cos t,(1+2sin^2t),;2r)raiz5+3sin^2t

Resposta

boxed B(t) =1raiz5+3sin^2t, l(-2sin^3t,;cos t,(1+2sin^2t),;2r)

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