Use a substituição para resolver

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
d yd x = 2yx + cosl(yx^2r)
e pede para usar a substituição y = v,x^2. Vamos aplicar a regra da cadeia para reescrever dydx em termos de v e x, e depois separar variáveis para integrar.

Passo 2

Com y = v,x^2, pela regra da cadeia
dydx = x^2,dvdx + 2x,v
Substituindo isso na equação original, obtemos
x^2,dvdx + 2x,v = 2,(v,x^2)x + cos(v) ;;Longrightarrow;; x^2,dvdx + 2x,v = 2x,v + cos(v)
Os termos 2x,v se cancelam, sobrando
x^2,dvdx = cos(v)

Passo 3

Separe variáveis:
dvcos(v) = dxx^2

Passo 4

Integre ambos os lados:
integral dvcos(v) = integral x^-2,dx
No lado esquerdo tfrac1cos(v) = sec(v), cuja primitiva é
integral sec(v),dv = lnl|sec(v)+tan(v)r|
No lado direito
integral x^-2,dx = -1x + C
Logo
lnl|sec(v)+tan(v)r| = -1x + C

Passo 5

Exponenciando, absorvendo o sinal e a constante em K,
sec(v) + tan(v) = K,e^-1/x
Voltando a v = tfracyx^2, a solução geral fica
secl(tfracyx^2r) ;+;tanl(tfracyx^2r) = K,e^-1/x

Resposta

boxedsecl(tfracyx^2r) + tanl(tfracyx^2r) = K,e^-1/x,
onde K é constante de integração.

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