1. (Ciência Forense) A temperatura T do corpo de uma vítima de assassinato encontrada em um quarto cuja temperatura é 20^circ C é dada por
T(t)=20+17 e^-0,07 t
em que ^2 é o número de horas após a morte da vítima.
(a) Faça um gráfico da temperatura do corpo t para T(t). Qual é a assíntota horizontal do gráfico? O que representa?
(b) Qual é a temperatura do corpo da vítima 10 horas após a morte? Quanto tempo a temperatura do corpo leva para chegar a t >= 0 ?
(c) John Ning Hen trabalha na firma de advogados Fraud, Tranbeek & Suborn. Chega ao trabalho de manhã e encontra o corpo do chefe, Paul Tranbeek, tombado sobre a mesa de trabalho. Chama a polícia e às 8 h o médico-legista verifica que a temperatura do corpo é 25^circ C. Como a última anotação encontrada na agenda da vítima é “Despedir o idiota do Ning Hen”, John é considerado o principal o principal suspeito. Entretanto, John não é nenhum idiota e andou estudando cálculo nas horas de folga. Depois de consultar o termostato e verificar que a temperatura da sala é 33^circ C, ele sabe exatamente para que instante necessita de um álibi de modo a comprovar sua inocência. Que instante é esse?

  1. 20^circ C C. Lewis and Peter P. Gillis, Packing Factors in Diatomic Crystals, American Journal of Physics, Vol. 61, No 5, 1993, pp 434-438

Passo 1

O enunciado descreve a temperatura do corpo de uma vítima sujeita à Lei de Resfriamento de Newton, dada por
T(t)=20 + 17,e^-0,07t,
onde t é o número de horas após a morte. Vamos usar análise de funções exponenciais para: (a) esboçar o gráfico e achar a assíntota; (b) avaliar T(10) e achar o tempo para T=25^circ C; (c), dado T=33^circ C às 8 h, descobrir o instante da morte.

Passo 2

Estudando T(t) para t>=0:
  1. Em t=0,
T(0)=20+17,e^0=37^circ C
  1. Como e^-0,07t decai para zero quando ttoinfty,
limttoinftyT(t)=20
Logo o gráfico parte de (0,37) e desce monotonamente, aproximando-se de T=20 sem nunca alcançá-la. Essa reta horizontal T=20^circ C é a assíntota, e representa a temperatura ambiente do quarto.

Passo 3

Para t=10 horas,
T(10)=20 + 17,e^-0,07cdot 10 =20 + 17,e^-0,7
Como e^-0,7approx0,4966,
T(10)approx20 + 17times0,4966approx20 + 8,44=28,44^circ C

Passo 4

Para achar t tal que T(t)=25^circ C, resolvemos
20 + 17,e^-0,07t=25 Longrightarrow e^-0,07t=517approx0,2941
Tomando logaritmo natural,
-0,07t=ln(0,2941)approx-1,2238 Longrightarrow tapprox1,22380,07approx17,48 h

Passo 5

Na parte (c), às 8 h mede-se T=33^circ C. Seja t0 o tempo decorrido desde a morte até as 8 h. Então
20 + 17,e^-0,07t0=33 Longrightarrow e^-0,07t0=1317approx0,7647
Logo
-0,07t0=ln(0,7647)approx-0,2683 Longrightarrow t0approx0,26830,07approx3,83 happrox3h50min
Isso significa que a morte ocorreu cerca de 3 h 50 min antes das 8 h, ou seja, por volta das 4 h 10 min da manhã.

Resposta

(a) Gráfico decrescente de (0,37) para a assíntota T=20^circ C, que representa a temperatura ambiente.
(b) T(10)approx28,44^circ C; leva cerca de 17,48 h (aprox. 17 h 29 min) para atingir 25^circ C.
(c) A vítima morreu aproximadamente às 4 h 10 min.

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