Determine o vetor binormal B(t) para cada uma das curvas vetoriais a seguir. Utilize a definição:
B(t)=widehatT(t) times N(t)
r(t)=a cos t i+b sin t j+t k

Passo 1

O problema pede o vetor binormal B(t) de
r(t)=acos t,i+bsin t,j+t,k,
sabendo que
B(t)=widehatT(t)timesN(t)
Em vez de calcular explicitamente widehatT e N, é mais prático usar o fato de que
B(t) é para<=lo a r'(t)timesr''(t) é
e portanto
B(t) =r'(t)timesr''(t)|r'(t)timesr''(t)|

Passo 2

Calcular a primeira e segunda derivadas de r(t):
r'(t) =(-asin t),i+(bcos t),j+1;k,
r''(t) =(-acos t),i+(-bsin t),j+0;k

Passo 3

Fazer o produto vetorial r'(t)timesr''(t). Pelo determinante de componentes, obtemos
r'(t)timesr''(t) =l(bsin tr),i +l(-,acos tr),j +l(a,br),k

Passo 4

Calcular a norma desse vetor:
|r'timesr''| =raiz(bsin t)^2+(-acos t)^2+(ab)^2 =raizb^2sin^2t+a^2cos^2t+a^2b^2

Passo 5

Normalizar para obter B(t):
B(t) =bsin t;i-acos t;j+ab;k raizb^2sin^2t+a^2cos^2t+a^2b^2

Resposta

B(t) =bsin t,i-acos t,j+ab,k raizb^2sin^2t+a^2cos^2t+a^2b^2

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