1. (Preços de ações) O preço em reais da ação de uma empresa no final da semana t é dado pela função
S(t)=12+3 cos (pi t6)+2 sen(pi(t-7)10)
para 1 <= t <= 40.
(a) Por que o preço da ação não pode ser menor do que 7 reais? Qual é o valor máximo que o preço da ação pode atingir?
(b) Os preços calculados no item acima são realmente atingidos? Se a resposta for afirmativa, em que semanas são atingidos?

Passo 1

O enunciado nos dá a função
S(t)=12+3cos!gl(pi t6gr)+2sin!gl(pi(t-7)10gr),
definida para 1<= t<=40.
Queremos (a) determinar os menores e maiores valores possíveis de S(t) usando a variação de cos e sin e (b) verificar se esses extremos são realmente atingidos no intervalo dado, resolvendo as equações trigonométricas necessárias.

Passo 2

Sabemos que
-1<= cos!gl(pi t6gr)<=1 Longrightarrow -3<= 3cos!gl(pi t6gr)<=3
e
-1<= sin!gl(pi(t-7)10gr)<=1 Longrightarrow -2<= 2sin!gl(pi(t-7)10gr)<=2
Somando essas desigualdades a 12, obtemos
S(t)in [,12-3-2,;12+3+2,]=[7,17]
Logo, teoricamente o preço não pode ser menor que 7 reais nem maior que 17 reais.

Passo 3

Para ver se o máximo 17 é atingido precisamos ter simultaneamente
3cos!gl(pi t6gr)=3 Long<=ftrightarrow pi t6=2pi k Long<=ftrightarrow t=12k,
e
2sin!gl(pi(t-7)10gr)=2 Long<=ftrightarrow pi(t-7)10=pi2+2pi m Long<=ftrightarrow t=12+20m
Igualando 12k=12+20m obtemos a equação diofantina
3k-5m=3,
cuja solução inteira em 1<= t<=40 é k=1, m=0, dando t=12. Portanto o valor máximo 17 ocorre na semana t=12.

Passo 4

Para ver se o mínimo 7 é atingido precisamos
3cos!gl(pi t6gr)=-3 Long<=ftrightarrow pi t6=pi+2pi k Long<=ftrightarrow t=6+12k,
e
2sin!gl(pi(t-7)10gr)=-2 Long<=ftrightarrow pi(t-7)10=3pi2+2pi m Long<=ftrightarrow t=22+20m
Igualando 6+12k=22+20m vem
3k-5m=4,
cuja única solução em inteiros é k=3, m=1, dando t=42, fora do intervalo [1,40]. Logo o valor 7 não é atingido no domínio.

Resposta

(a) O preço nunca pode ficar abaixo de 7 reais nem acima de 17 reais.
(b) O valor máximo de 17 reais é efetivamente atingido na semana t=12. O valor mínimo de 7 reais não ocorre para 1<= t<=40.

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